Resultierende einer Streckenlast mit Abstand (Integral)

Question

ich habe das erste mal eine Streckenlast und Abstand über die Integration berechnet.
Das Ergebnis klingt plausibel aber ich kann nicht nachprüfen ob das wirklich korrekt ist.. daher
frage ich hier bei den Profis:

Gegeben: q(x) = 10(x/L)² 
Wobei L die länge der Streckenlast ist (7m) und auch die Grenzen darstellt (bestimmte Integral zwischen 0 und 7).

Ergebnis ist hier : 23.333.. kN

Und der Abstand der Resultierenden zum Ursprung: 6,3 Meter.

Kann das seine richtigkeit haben?

Answer 1

Hallo,

Die Resultierende stimmt. Geht leicht im Kopf zu kontrollieren. Eine Fläche unter einer Parabel ist ein Drittel des umfassenden Rechtecks, wenn der Scheitel der Parabel in eine Ecke des Rechtecks fällt. $$ R = \frac 13 \cdot 10 \frac{\text{kN}}{\text m} L = \frac{70}{3} \text{kN} = 23, \overline{3}  \text{kN}$$Beim Abstand hast Du Dich vertan. Schau Dir das mal rein optisch an:

~plot~ (10(x/7)^2)*(x<7);x=6.3;[[-1|8|-1|12]] ~plot~

Das blaue ist die Streckenlast und die rote Senkrechte liegt bei \(x=6,3\). Das kann nicht die Lage des Schwerpunkts sein. Ich rechne mal nach:$$\begin{aligned} x_S &= \frac 1R \int\limits_{x=0}^{L} x \cdot q(x)\, \text dx \\ &= \frac 1R \int\limits_{x=0}^{L} \frac{10 x^3}{L^2}\, \text dx \\ &= \frac 1R \left[ \frac{10 x^4}{4 L^2}\right]_0^L \\ &= \frac{10 L^2}{4R} &&\left|\, R = \frac {10}3 L \right. \\ &= \frac 34 L = 5,25 \text{m} \end{aligned}$$

~plot~ (10(x/7)^2)*(x<7);x=5.25;[[-1|8|-1|12]] ~plot~

sieht schon besser aus - oder?

Comments

Hallo,

also ich habe folgende Stammfunktion gefunden: 10*x^3/147

Im zweiten Schritt (Lage der Resultierenden im Zähler) habe ich das ganze mit x Multipliziert und habe 10x^4/147 heraus. Dann xs = 10*x^4/147 / 10*x^3/147

.... verstehe nicht wie ich x * q(x)dx zusammen bekomme :(

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also ich habe folgende Stammfunktion gefunden: 10*x^3/147

bei der Berechnung der Resultierenden ... das ist ok

Im zweiten Schritt (Lage der Resultierenden im Zähler) habe ich das ganze mit x Multipliziert und habe 10x^4/147 heraus. Dann xs = 10*x^4/147 / 10*x^3/147

dann stände da \(x_s = x\). Das bringt Dich nicht wirklich weiter.

.... verstehe nicht wie ich x * q(x)dx zusammen bekomme :(

wie meinst Du das? Letzlich ist es doch eine Momentengleichgewicht: $$x_s \cdot R = \int_0^L x \cdot q(x)\, \text dx$$wo genau ist Dein Problem?

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Hallo,

erstmal vielen Dank für deine Mühe.

Ich verstehe nicht wie x * q(x) dx am Ende aussieht, also als Term. Wenn ich q(x) mit x Multipliziere passiert nicht viel, aus 10x^3/147 wird 10x^4/147 und das bringt mich nicht weiter :(

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Ich verstehe nicht wie x * q(x) dx am Ende aussieht,

nach der Vorgabe aus Deiner Aufgabenstellung ist $$q(x)= 10 \left( \frac xL \right)^2$$und multipliziert mit \(x\) gibt das $$x \cdot q(x) = 10 \frac {x^3}{L^2}$$und integriert gibt das dann $$\begin{aligned}\int_a^b x \cdot q(x) \, \text dx &= \int_a^b 10 \frac {x^3}{L^2} \, \text dx \\&= \left. \frac{10 x^4}{4 L^2} \right|_a^b \end{aligned}$$wo zauberst Du denn diese \(147 = 3 \cdot 7^2\) her?