Zeige: Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind je zwei Polynome genau dann teilerfremd, wenn sie keine …

Question

Aufgabe:

Zeige: Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind je zwei Polynome genau dann teilerfremd, wenn sie keine gemeinsame Nullstelle haben.

Problem/Ansatz:

Ich komme hier irgendwie nicht weiter, im internet habe ich auch kein Beweis dazu gefunden, wo ich mich orientieren könnte.

Ich versuche es mit einem Widerspruchsbeweis zu zeigen, aber irgendiwe komme ich da auch nicht viel weiter.

Answer 1

Zeige beide Richtungen per Kontraposition:

Wenn sie eine gemeinsame Nullstelle haben sind sie offensichtlich nicht teilerfremd.

Die Polynome seien nicht teilerfremd und p sei ein nicht trivialer gemeinsamer Teiler, das heißt \(\deg p \ge 1\). In einem algebraisch abgeschlossenen Körper hat jedes Polynom mit Grad \(  \ge 1\) eine Nullstelle, also auch p. Damit existiert eine gemeinsame Nullstelle der Polynome.