Hallo Lintang,
ganzrationale Funktion 3. Grades bedeutet \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\).
Ordinatenabschnitt -6 heißt, dass für x=0 der y-Wert -6 ist, also
\(-6=a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d\Rightarrow d=-6\)
Die Abszisse ist die x-Achse, die bei x=3 geschnitten wird, also ist hier y=0.
\(0=a\cdot3^3+b\cdot3^2+c\cdot3-6\)
\(0=27a+9b+3c-6~~~|:3\)
\(2=9a+3b+c~~~~~(I)\)
Für den Wendepunkt brauchst du die 2. Ableitung.
$$f'(x)=3ax^2+2bx+c \\ f''(x)=6ax+2b$$
Der Wendepunkt liegt bei x=3, d.h. f''(3)=0.
$$ 0=6a\cdot3+2b \Rightarrow 0=18a+2b \Rightarrow 0=9a+b~~~~~(II)$$
Außerdem gilt f'(3)=5.
$$ 5=3a\cdot 3^2+2b\cdot 3 +c \Rightarrow 5=27a+6b+c~~~~~(III)$$
Nun hast du drei Gleichungen und kannst a, b und c bestimmen.
Um c zu eliminieren, subtrahieren wir (III)-(I)
$$ 3=18a+3b \Rightarrow 1=6a+b ~~~~~(IV)$$
(II)-(IV) lässt b verschwinden:
$$-1=3a\Rightarrow a=-\frac{1}{3}$$
Das setzt du nun in (II) oder (IV) ein und erhältst \(b=3\).
Nun noch c bestimmen, indem du a und b in (I) oder (III) einsetzt: \(c=-4\).
Ergebnis:
$$ f(x)=-\frac{1}{3}x^3+3x^2-4x-6 $$
