uneigentliche Integrale berechnen.

Question

Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale:
(a) \( \int \limits_{2}^{\infty} \frac{4}{x(x+2)} d x \)
(b) \( \int \limits_{1}^{2} \ln (x-1) d x \)

Bitte um die Lösung.!

Answer 1

a) Eine Stammfunktion ist für x>2 gegeben durch  2*ln( x/(x+2) ) .

Also ist das Integral von 2 bis z immer I =2*ln( z/(z+2) )  - ( 2 * ln( 1/2) )

           = 2*ln( z/(z+2) ) +2ln(2) .

Nun geht aber z/(z+2) für z gegen unendlich gegen 1 und somit

wird aus 2*ln( z/(z+2) )   dann   0 und somit ist das uneigentliche Int = 2ln(2).

b) Hier Stammfkt  (x-1)ln(x-1)-x , also Integral von z bis 2 ist dann

-2  - (  (z-1)ln(z-1)-z)  und  (  (z-1)ln(z-1)-z)   geht gegen -1 für z gegen 1, also

ist das uneigentliche Integral -2 + 1 = -1 .

Answer 2

Aloha :)

$$\int\limits_2^\infty\frac{4}{x(x+2)}dx=\int\limits_2^\infty\left(\frac{2}{x}-\frac{2}{x+2}\right)dx=\left[2\ln x-2\ln(x+2)\right]_2^\infty$$$$=\left[2\ln\left(\frac{x}{x+2}\right)\right]_2^\infty=\left[2\ln\left(\frac{x+2-2}{x+2}\right)\right]_2^\infty=\left[2\ln\left(1-\frac{2}{x+2}\right)\right]_2^\infty$$$$=2\ln(1)-2\ln\left(1-\frac{2}{4}\right)=-2\ln\left(\frac{1}{2}\right)=2\ln2=\boxed{\ln4}$$

$$\int\limits\ln(x-1)dx=\int\limits\underbrace{1}_{u'}\cdot\underbrace{\ln(x-1)}_v\,dx=\underbrace{x}_u\underbrace{\ln(x-1)}_v-\int\underbrace{x}_u\underbrace{\frac{1}{x-1}}_{v'}\,dx$$$$=x\ln(x-1)-\int\frac{x-1+1}{x-1}dx=x\ln(x-1)-\int\left(1+\frac{1}{x-1}\right)dx$$$$=x\ln(x-1)-x-\ln(x-1)=(x-1)\ln(x-1)-x$$$$\int\limits_1^2\ln(x-1)dx=(2-1)\ln(2-1)-2-\lim\limits_{x\to1}\left((x-1)\ln(x-1)\right)+1=\boxed{-1}$$