Punktschätzer Statistik. Beweisen, dass alle drei Schätzer erwartungstreu sind usw.

Question

Aufgabe:

Z1 := 1/2(X1 + X5)

Z2 := 1/5(X1 + 3 · X3 + X5)

Z3 := 1/5(2 · X1 + 2 · X3 + X5)

a) Beweisen Sie, dass alle drei Schätzer erwartungstreu sind

b) Berechnen Sie die Varianzen der Schätzer. Welcher von diesen drei Schätzern ist der wirksamste?

Problem/Ansatz:

Kann mir einer erklären wie ich diese beiden teilaufgaben berechnen soll bitte

wäre echt dankbar ich schaffe es einfach nicht

Danke

Answer 1

Hallo,

ich mache mal nur \( Z_2 \). Weil der Erwartungswert linear ist, kann man

\( E(Z_2) = \frac{1}{5}(E(X_1) + 3E(X_3) + E(X_5)) = \frac{1}{5} 5 \mu = \mu \)

mit \( \mu = E(X_i) \) für die identisch verteilten \( X_i \) berechnen. Das heißt, dass \( Z_2 \) erwartungstreu ist: \( E(Z_2) = \mu \).

Die Varianz von \( Z_2 \) ist

\( V(Z_2) = \frac{1}{25}(V(X_1) + 9 V(X_3) + V(X_5)) = \frac{11}{25} \omega \)

mit \( \omega = V(X_i) \) für die unabhängig verteilten \( X_i \).

Ein Schätzer ist wahrscheinlich als umso wirksamer (im Sinne der Aufgabenstellung) anzusehen, je kleiner seine Varianz ist.

Grüße

Mister

Comments

Ich verstehe das nicht ganz :/ also die Rechnung für erwartungstreue

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Verstehst du die Rechnung für die Varianz?