Für welche Werte von a ist die Funktion a·P +ln eine surjektive Funktion?

Question

Aufgabe: Geben Sie für die folgenden Funktionen f_i,_a jeweils die Menge aller a ∈R an, für die f_i,a surjektiv auf R ist.

1) a·P +ln  für ein Polynom P mit positivem Leitkoeffizienten (Hinweis: Hier dürfen Sie schon annehmen, dass ln : (0;∞) →R stetig ist.

Problem/Ansatz:

Mein ansatz für den Fall, dass a > 0 ist : Polynome wachsen schneller als Log, deshalb ist aP(x)+ln(x), wenn n die höchste Potenz des Polynoms ist. Wenn a > 0, dann ist es eine große positive Zahl, die auch beliebig groß sein kann. Auf der anderen Seite, wenn x nah am 0 ist, ist aP(x) klein, ln(x) ist aber eine betragsmäßig große negative Zahl. Damit ist das Bild von aP+ln(x) auf (0,∞) die ganze Achse (−∞,∞).

Ist mein beweis hier richtig ?
und für den fall a < 0 und a=0 habe leider gar kein plan

Comments

und für den fall a < 0 und a=0 habe leider gar kein plan

ln nimmt auf (0,unendlich) schon alle Werte aus ℝ an. Daher sollte mE kein grosser Unterschied zwischen a>0 und a<0 bestehen. Oder?

Um den grünen Teil zu zeigen, genügt es, wenn du die Grenzwerte von ln für x gegen 0 und gegen unendlich bestimmst / kennst.

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wenn es kein unterschied zwischen a <0 und a > 0 gebt, dann ist für a ∈ (-∞, ∞) und  das stimmt nicht für a < 0 ist die funktion nicht surjektive oder?

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Genau. Da scheinst du recht zu haben.

~plot~ x + ln(x) ; -x^3 + 2x^2 + ln(x); -x^5 + ln(x) ~plot~

Fall a < 0

Grenzwert von f für x gegen 0 ist -unendlich.

Grenzwert von f für x gegen unendlich ist ebenfalls -unendlich.

Aufgrund der Stetigkeit von f haben die Funktionswerte von f ein Supremum kleiner als unendlich.

Fall a = 0 vgl. mein erster Kommentar