Aufgabe:
Gegeben seien die Basen
$$ \mathcal{B}_{1}=\left\{4 x^{2}-x+2,2, x\right\}, \quad \mathcal{B}_{2}=\left\{2 x^{2}, x^{2}+x, 1\right\} $$
von \( \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \) sowie die lineare Abbildung \( L: \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \) gegeben durch ihre darstellende Matrix bezüglich der Basis \( \mathcal{B}_{1} \),
$$ L_{\mathcal{B}_{1}}=\left[\begin{array}{lll} {3} & {1} & {0} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {2} & {1} \end{array}\right] $$
a) Bestimmen Sie \( K_{\mathcal{B}_{1}}^{-1} \) und \( K_{\mathcal{B}_{2}} \).
b) Bestimmen Sie \( L_{\mathcal{B}_{2}} \).
c) Berechnen Sie \( L(p) \) für das Polynom \( p=-4 x^{2}+2 x-3 \in \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \).
Erklärungen zu den Koordinatenvektoren bei a:
Das eindeutig bestimmte \( n \) -Tupel \( \vec{v}_{\mathcal{B}}:=\left[\begin{array}{c}{\alpha_{1}} \\ {\vdots} \\ {\alpha_{n}}\end{array}\right] \in \boldsymbol{K}^{n} \) mit
\( \vec{v}=\alpha_{1} \vec{b}_{1}+\cdots+\alpha_{n} \vec{b}_{n} \) heißt Koordinatenvektor von \( \vec{v} \) bezüglich der Basis
\( \left\{\vec{b}_{1}, \ldots, \vec{b}_{n}\right\} \)
Die Zahlen \( \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \) heißen Koordinaten.
Die Abbildung \( K_{\mathscr{B}}: \)
$$ \begin{aligned} K_{\mathcal{B}}: & V \rightarrow \boldsymbol{K}^{n} \\ \overrightarrow{\boldsymbol{v}} & \mapsto\left[\begin{array}{c} {\alpha_{1}} \\ {\vdots} \\ {\alpha_{n}} \end{array}\right] \end{aligned} $$
heißt Koordinatenabildung.
