Auf Richtigkeit prüfen mittels Aussagenlogik oder Gegenbeispiel ! (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)

Question

Aufgabe:

1.   A \ (B ◊ C) = (A \ B) ◊ (A \ C)

2.  (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)

Problem/Ansatz:

Gegeben seien beliebige Mengen A, B, C ⊆ E. Wir sollen die Gleichung auf ihre Richtigkeit prüfen, wenn es stimmt, sollen wir sie mittels Gesetze der Mengenlehre bzw. Aussagenlogik beweisen.

Stimmt es nicht, sollen beide Seiten graphisch darstellen und ein Gegenbeispiel angeben.

Jedesmal wenn ich es versuche, habe ich ein anderes Ergebnis und verzweifel hier bald ;;

Comments

Was bedeuet ◊?

Answer 1

2.  (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)

        (A ∪ B) × C = {(x,y) | (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ y ∈ C}

        (A × C) ∪ (B × C) = {(x,y) | x ∈ A ∪ B ∧ y ∈ C}

Es genügt also zu zeigen, dass

(1)        (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ y ∈ C

äquivalent zu

(2)        x ∈ A ∪ B ∧ y ∈ C

ist. Laut Definition der Vereinigung ist

        A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Also ist

        x ∈ A ∪ B

äquivalent zu

         x ∈ A ∨ x ∈ B.

Also ist auch (1) äquivalent zu (2).