Aloha :)
Hier brauchst du die Kettenregel zwei Mal in Folge. Wir machen das schrittweise, damit es verständlich wird:
$$y'=\left(\tan^4(x^4)\right)'=\left(\left[\tan(x^4)\right]^4\right)'=\underbrace{4\left[\tan(x^4)\right]^3}_{\text{äußere}}\cdot\underbrace{\left(\tan(x^4)\right)'}_{\text{innere}}$$$$\phantom{y'}=\underbrace{4\tan^3(x^4)}_{\text{äußere}}\cdot\underbrace{\overbrace{\frac{1}{\cos^2(x^4)}}^{\text{äußere}}\cdot\overbrace{(x^4)'}^{\text{innere}}}_{\text{innere}}=\underbrace{4\tan^3(x^4)}_{\text{äußere}}\cdot\underbrace{\overbrace{\frac{1}{\cos^2(x^4)}}^{\text{äußere}}\cdot\overbrace{4x^3}^{\text{innere}}}_{\text{innere}}$$$$\phantom{y'}=16x^3\frac{\tan^3(x^4)}{\cos^2(x^4)}$$
