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Hallo, kann mir bitte jemand bei den beiden Teilaufgaben einen Lösungsweg aufzeigen. Ich komme absolut nicht weiter.

Für einen Vektor \( x=\left(x_{1} x_{2}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{2} \) setzen wir
$$ \|x\|_{1}:=\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right| $$
1) Zeige, dass \( \|\cdot\|_{1} \) eine Norm auf dem \( \mathbb{R}^{2} \) definiert.
2) Zeige, dass die Norm \( \|\cdot\|_{1} \) nicht von einem Skalarprodukt induziert wird.

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1)

Hier müssen wir Dreierlei zeigen:

(1) ||(0,0)||=|0|+|0|=0 und ||x||>0 für alle x≠0, letzteres folgt als Eigenschaft des Bertags.

(2) ||αx||=|αx_{1}|+|αx_{2}|=|α||x_{1}|+|α||x_{2}|=|α|(|x_{1}|+|x_{2}|)=|α|*||x|| (Nutze Betragseigenschaften)

(3) ||x+y||=|x_{1}+y_{1}|+|x_{2}+y_{2}|≤|x_{1}|+|y_{1}|+|x_{2}|+|y_{2}|=||x||+|y||

2)

Jede von einem Skalarprodukt induzierte Norm erfüllt die Parallelogrammidentität:

||v+w||^2+||v-w||^2=2(||v||^2+||w||^2)

Such mal ein \(v\) und \(w\), so dass das nicht erfüllt ist - ein Gegenbeispiel reicht.

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Dem Ganzen kann ich folgen, nur habe ich jetzt einiges ausprobiert und irgendwie kein Gegenbeispiel finden können?.

v=(1,0) und w=(0,-1)

||(1,0)+(0,-1)||^2+||(1,0)-(0,-1)||^2 = 2^2+2^2 = 8

2(||(0,1)||^2+||(0,-1)||^2)=2(1+1) = 4

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