Zeigen Sie: Symmetire, Linearitaet und positiv definit

Question

Aufgabe:

Aufgabe \( 2 . \) Sei \( P_{n}=\mathbb{R}_{\leq n}[x] \) der \( \mathbb{R} \) -Vektorraum der Polynome vom Grad \( \leq n, \) seien \( x_{0}, \ldots, x_{n} \in \) \( [a, b] \) paarweise verschieden und \( a<b . \) Zeigen Sie:
$$ \langle p, q\rangle=\sum \limits_{i=0}^{n} p\left(x_{i}\right) q\left(x_{i}\right) \quad \text { und } \quad\langle p, q\rangle^{\prime}:=\int \limits_{a}^{b} p(x) q(x) d x $$
sind zwei Skalarprodukte auf \( P_{n} . \)

Zeigen Sie dazu, dass für Polynome \( p, q \in P_{n} \) und Skalare \( a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R} \) gilt:

1. Symmetrie: \( \langle p, q\rangle=\langle q, p\rangle \)

2. Linearität: \( \left\langle a_{1} \cdot p_{1}+a_{2} \cdot p_{2}, q\right\rangle=a_{1}\left\langle p_{1}, q\right\rangle+a_{2}\left\langle p_{2}, q\right\rangle \)

3. Positiv definit: \( \langle p, p\rangle>0 \) außer \( p=0 \) (Nullpolynom).
Analog für \( \langle,\rangle^{\prime} \)

Answer 1

Ich mach mal zu \(\langle.,. \rangle \) die Linearität vor: Für beliebige Skalare \(a_1,a_2\in \mathbb{R}\) und beliebige Polynome \(p_1,p_2,q\in P_n\) hat man

\(\langle a_1\cdot p_1+a_2\cdot p_2,q \rangle\\=\sum\limits_{i=0}^n (a_1\cdot p_1+a_2\cdot p_2)(x_i)\cdot q(x_i)\\=\sum\limits_{i=0}^n ((a_1\cdot p_1)(x_i)+(a_2\cdot p_2)(x_i))\cdot q(x_i)\\=\sum\limits_{i=0}^n (a_1\cdot p_1(x_i)+a_2\cdot p_2(x_i))\cdot q(x_i)\\=\sum\limits_{i=0}^n \Big(a_1\cdot p_1(x_i)\cdot q(x_i)+a_2\cdot p_2(x_i)\cdot q(x_i)\Big)\\=\Bigg(\sum\limits_{i=0}^n a_1\cdot p_1(x_i)\cdot q(x_i)\Bigg)+\Bigg(\sum\limits_{i=0}^n a_2\cdot p_2(x_i)\cdot q(x_i)\Bigg)\\=a_1 \cdot \Bigg(\sum\limits_{i=0}^n p_1(x_i)\cdot q(x_i)\Bigg)+a_2 \cdot \Bigg(\sum\limits_{i=0}^n p_2(x_i)\cdot q(x_i)\Bigg)\\=a_1\cdot \langle p_1,q \rangle+a_2\cdot \langle p_2,q \rangle\)