Zeigen Sie, dass V ein Untervektorraum des Vektorraums R3

Question

Aufgabe:

1.0 Gegeben ist die Menge

        $V= \left\{ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 | \det\begin{pmatrix} 1 & x & 3 \\ 0 & y & -1 \\ 2 & z & 3 \end{pmatrix}=0 \right\}$ .

1.1 Zeigen Sie, dass V ein Untervektorraum des Vektorraums R³ (mit den üblichen Verknüpfungen) ist!

1.2 Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von V!

Comments

Das ist unverständlich. Steht $\begin{pmatrix} 1 & x & 3 \\ 0 & y & -1 \\ 2 & z & 3 \end{pmatrix}=0$ für die Nullmatrix??? Dann ist $V=\emptyset$.

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oh nein, das musste ich ja klarer eintippen.

Ich meinte die Determinante = 0

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Also meinst du $V=\left \{\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3: \det \begin{pmatrix} 1 & x & 3 \\ 0 & y & -1 \\ 2 & z & 3 \end{pmatrix}=0\right \}$?

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ja, das meine ich.

Answer 1

Es gibt 3 Kriterium zum Nachweis für Untervektorräume:

$$\text{1. } V \subseteq \mathbb{R}^3 \text{ folgt direkt aus der impliziten Mengenbeschreibung.}$$

$$\text{2. Es gilt } (0,0,0)^T\in V \text{, da } x=y=z=0 \text{ eine Nullspalte in der Matrix ergibt. }$$

$$\text{3. Für } v,w\in V, \lambda\in \mathbb{R} \text{ gilt } \lambda\cdot v + w\in V \text{ aufgrund der Linearität der Determinante.}$$

Falls du 3. genauer haben möchtest:

$$\text{Seien }v,w\in V, \lambda\in \mathbb{R}, v=(v_1,v_2,v_3)^T, w=(w_1,w_2,w_3)^T. \\\det\begin{pmatrix}1 & \lambda\cdot v_1+w_1 & 3 \\0 & \lambda\cdot v_2+w_2 & -1 \\ 2 & \lambda\cdot v_3+w_3 & 3 \end{pmatrix} = \lambda\cdot det\begin{pmatrix} 1 & v_1 & 3 \\ 0 & v_2 & -1 \\ 2 & v_3 & 3 \end{pmatrix}+det\begin{pmatrix} 1 & w_1 & 3 \\ 0 & w_2 & -1 \\ 2 & w_3 & 3 \end{pmatrix} = \lambda\cdot 0 + 0 = 0$$

Bestimmung der Dimension und Basis:

$$\text{Nach dem Satz von Sarrus gilt: } \forall (x,y,z)^T\in V: -3y -2x +z = 0 \Rightarrow z=3y+2x.$$

$$\text{Damit gilt } V=\{(x,y,3y+2x)^T| \ x,y\in \mathbb{R}\} = \{x\cdot (1,0,2)^T + y\cdot (0,1,3)^T| \ x,y\in \mathbb{R}\}.$$

$$\text{Also ist } dim(V)=2 \text{ und eine mögliche Basis wäre } B=\{(1,0,2)^T, (0,1,3)^T\}.$$

Answer 2

Hallo,

es gilt mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz$$\det \begin{pmatrix} 1 & x & 3 \\ 0 & y & -1 \\ 2 & z & 3 \end{pmatrix}=\det \begin{pmatrix} y & -1 \\ z & 3 \end{pmatrix}+2\det \begin{pmatrix}x & 3 \\ y & -1 \end{pmatrix}=3y+z+2(-x-3y)=-3y-2x+z=0$$, damit ist $V=\left \{\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3: -3y-2x+z=0\right \}$. Das ist ein linearer Unterraum des $\mathbb{R}^3$ als Koordinantenform einer Hyperebene durch den Nullpunkt.

Du kannst das auch sofort umschreiben zu:$$V=\left \{\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3: \underbrace{\begin{pmatrix} -2 & -3 & 1 \end{pmatrix}}_{=:A}\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=0\right \}=\ker A$$ Der Kern ist ein UVR von $\mathbb{R}^3$. Mit dem Wissen, dass $V$ eine Hyperebene ist, kannst du nun auch die Basis bestimmen (das sind die Spannvektoren der Ebene) und die Dimension sollte auch klar sein.

Zur Bestimmung der Basis und der Dimension:

Pick dir einfach drei Punkte raus, die die Koordinantengleichung erfüllen, beispielsweise $(0,0,0), (1,0,2), (1,-1,-1)$. Dann stellst du eine Parametergleichung auf durch:$$\vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 1\\-1\\-1\end{pmatrix}=\left \langle \begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\-1\\-1 \end{pmatrix}\right\rangle$$ Also ist $\mathcal{B}=\left \{ \begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\-1\\-1 \end{pmatrix}\right\}$ eine Basis. Die Dimension ist die Länge der Basis und damit $\dim V=2$.

Answer 3

V = { (x y z)^T ∈ ℝ³ | z - 3y - 2x = 0 }

z - 3y - 2x = 0 ⇔ z = 3y + 2x

V = { x·(1 0 2)^T + y·(0 1 3)^T ∈ ℝ³ | x, y ∈ ℝ }