Geometrische Verteilung -Tipps

Question

Aufgabe:

Seien X, Y unabhängige zum Parameter 0 < p < 1 geometrisch verteilte Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F , ℙ). (D.h. ℙ(X=n) = p(1−p)ⁿ⁻¹ für n∈ℕ)

Zeigen Sie, dass min{X,Y} zum Parameter 1 − (1 − p)² geometrisch verteilt ist.

Problem/Ansatz:

Die Lösung zu dieser Aufgabe haben wir bekommen. Mein Problem ist, nicht genau zu wissen, wie man an so eine Aufgabe geht. Habt ihr Tipps? Was muss man verwenden. Die Lösung vom Professor verstehe ich leider nicht ganz.. Ich danke für jede Antwort im Voraus!!

Answer 1

$$ \mathbb{P} \{ \min(X,Y) > k \} = \mathbb{P} \{ X >k \} \mathbb{P} \{ Y >k \} = \mathbb{P} \{ X >k \}^2 = (1-p)^{2k}  $$

$$ \mathbb{P} \{ \min(X,Y) = k \} = \mathbb{P} \{ \min(X,Y) > k-1 \} - \mathbb{P} \{ \min(X,Y) > k \} $$

Jetzt einsetzen und vereinfachen.