Bestimme die Extremal-, Maximal- und Minimalstellen bei f(x) = e^{2x³ - 96x}

Question

Gegeben ist die Funktion \( f(x)=e^{2 x^{3}-96 x} \) mit Definitionsbereich \( \mathrm{D}(f):=[-8,3] \subset \mathbb{R} \).

Gesucht sind die lokalen und globalen Maximal- und Minimalstellen.

Auf dem Weg dahin sind mehrere Zwischenresultate zu berechnen:

1. Berechnen Sie die Ableitung \( \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) \) der Funktion \( \mathrm{f}(\mathrm{x}), \mathrm{x} \in \mathbb{R} \)

\( f^{\prime}(x)=\sqrt{?} \)

2. Welche potentiellen Extremalstellen gibt es im Inneren von \( D(f):=[-8,3] ? \)

Die Menge der potentiellen Extremalstellen im Inneren von \( \mathrm{D}(\mathrm{f}) \) ist: ...

3. Welche weiteren potentiellen Extremalstellen gibt es?

Beachten Sie hier ob es Randpunkte gibt, denn Randpunkte sind immer potentielle Extremalstellen!
Die Menge der weiteren potentiellen Extremalstellen (Randpunkte) ist: ...

4. Welche lokalen Maximastellen gibt es?

Die Menge der lokalen Maximalstellen ist: ...

5. Welche lokalen Minimalstellen gibt es?

Die Menge der lokalen Minimalstellen ist: ...

6. Welche Maximalstellen (globale) gibt es?

Die Menge der Maximalstellen ist: ...

7. Welche Minimalstellen (global) gibt es?

Die Menge der Minimalstellen ist: ...

Comments

Tipp:

f(x) = e^{2x**3 - 96x}

(wobei **3 bedeutet: "hoch 3")

Dann ist

f'(x) = (6x² - 96) * e^{2x**3 - 96x}

Jetzt müsste man noch die 2. Ableitung bilden, und zwar nach der Produktregel:

(u*v)' = u'v + uv'

u = 6x² - 96 | u' = 12x

v = e^{2x**3 - 96x} | v' = (6x² - 96) * e^{2x**3 - 96x}

Für Extremalstellen ist die notwendige Bedingung f'(x) = 0, also hier

(6x² - 96) * e^{2x**3 - 96x} = 0

Hinreichende Bedingung für ein Maximum ist dann zusätzlich, dass

f''(x) < 0

gilt, und für ein Minimum, dass

f''(x) > 0 gilt.

Hoffentlich konnte ich Dir damit ein klein wenig helfen.

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vielen dank

muss ich bei aufgabe 2.  -8 und 3 in die erste ableitung einsetzten

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Ich würde sagen:


Aufgabe 2:

1. Ableitung bilden - wenn = 0 => potentielle Extremalstelle

Dazu kommen noch f(-8) und f(3) als potentielle Extremalstellen.

Diese brauchen ja nicht unbedingt in der 1. Ableitung den Wert 0 haben, können aber trotzdem größer/kleiner sein als lokale Extremalstellen innerhalb des Intervalls.


Darauf zielt auch Aufgabe 3 ab.

(Wichtig: "Randpunkte sind immer potentielle Extremalstellen.")


Aufgabe 4:

Lokale Maximalstellen.

1. Ableitung = 0, 2. Ableitung < 0 innerhalb des betrachteten Intervalls.


Aufgabe 5:

Lokale Minimalstellen.

1. Ableitung = 0, 2. Ableitung > 0 innerhalb des betrachteten Intervalls.


Bei den Aufgaben 6 und 7 bin ich mir nicht sicher, ob hier auch Bereiche außerhalb des gegebenen Intervalls betrachtet werden.

Wenn ja, gelten die gleichen Voraussetzungen wie bei den Aufgaben 4 und 5.

Answer 1

f(x) = exp(2·x^3 - 96·x)

f'(x) = exp(2·x^3 - 96·x)·(6·x^2 - 96)

f''(x) = 12·e^{2·x^3 - 96·x}·(3·x^4 - 96·x^2 + x + 768)

Jetzt sind ja nur Extremalstellen gefragt, also f'(x) = 0

6·x^2 - 96 = 0
x = -4 ∨ x = 4

Eine davon ist im Definitionsbereich die andere nicht.

Ich berechne jetzt die Funktionswerte der verdächtigen Extremalstellen und der Grenzen

Zusätzlich mache ich mal eine Wertetabelle im Bereich von -10 bis 10. Achtung der Definitionsbereich ist fett. D.h. nur dieser gehört zur Untersuchung. Ich habe den Rest nur mit aufgeführt, weil ich denke das dann der Verlauf der Kurve deutlicher wird.

[-10, e^{-1040}; lim (x->-∞) = 0+ 
-9, e^{-594};
-8, e^{-256}; [Globales Minimum]
-7, e^{-14};
-6, e^144;
-5, e^230;
-4, e^256; [Lokales Maximum]
-3, e^234;
-2, e^176;
-1, e^94;
0, 1;
1, e^{-94};
2, e^{-176};
3, e^{-234};
4, e^{-256}; [Lokales Minimum]
5, e^{-230};
6, e^{-144};
7, e^14;
8, e^256;
9, e^594;
10, e^1040] lim (x->∞) = ∞