Aufgabe a)
Sei E/K eine Körpererweiterung, d.h. E ist ein Körper und K eine Teilmenge von E, die bezüglich der von E induzierten Verknüpfungen ein Körper ist. In diesem Fall ist E ein K -Vektorraum.
Ich soll einmal zeigen, dass für alle α ∈ E durch α:E→E, α(x):=α·x eine K-lineare Abbildung definiert ist.
Aufgabe b)
Sei nun \( E=\mathrm{C}, K=\mathbb{R} \) und \( \alpha=a+b i \) mit \( a, b \in \mathbb{R} . \) Ferner seien die Basen \( \mathcal{A}:=(1, i) \) und \( \mathcal{B}:=(1+i, i) \) des \( \mathbb{R} \) -Vektorraums \( \mathbb{C} \) gegeben.
(i) Bestimmen Sie die Matrix \( M _{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}} (\underline{\alpha}) \) von \( \underline{\alpha} \) bezüglich der Basis \( \mathcal{A} \).
(ii) Bestimmen Sie die Matrix des Basiswechsels \( \mathrm{M}_{\mathcal{B}}^{\mathrm{A}}(\mathrm{id}) \) von \( \mathcal{A} \) nach \( \mathcal{B} \).
(iii) Bestimmen Sie die Matrix \( \mathrm{M}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(\underline{\alpha}) \) von \( \underline{\alpha} \) bezüglich der Basis \( \mathcal{B} \).
