0 Daumen
617 Aufrufe

Zeigen Sie, dass die \(n × n\)-Matrix

\(A:=\begin{pmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{pmatrix}\)

die Determinante det \((A) = 1+x^2+x^4+...+x^{2n}\) hat.

Avatar von

A= ( \begin{pmatrix} 1+x2 & x & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x2 \end{pmatrix} \)

3 Antworten

+1 Daumen

Möglicher Lösungsweg: Induktion über n.
Vorab: Die Darstellung der einzelnen Matrizen geht m.E. per Hand deutlich besser als in LaTeX, daher könnten Probleme mit der Darstellung im Folgenden auftreten. Unter "Def. Det." wird hier die Spaltenaddition verstanden. Ich empfehle eine geringe Skalierung.


Induktionsanfang (n=1, n=2 und n=3 (letztere zur Veranschaulichung)):
$$\begin{vmatrix} 1+x^2 \end{vmatrix} = 1+x^2 = \sum\limits_{i=0}^{1} x^{2i}$$
$$\begin{vmatrix} 1+x^2 & x \\ x & 1+x^2 \end{vmatrix} = -x\cdot \begin{vmatrix} x \end{vmatrix} + (1+x^2)\cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 \end{vmatrix} = -x^2 + (1+x^2)^2 = -x^2+1+2x^2+x^4 = 1+x^2+x^4 = \sum\limits_{i=0}^{2} x^{2i}$$
$$\begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 \\ x & 1+x^2 & x \\ 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix} \\\overset{Laplace}{=} -x\cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & 0 \\ x & x\end{vmatrix} + (1+x^2)\cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & x \\ x & 1+x^2 \end{vmatrix} \\\overset{Def. Det.}{=} -x \cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & 0 \\ 0 & x \end{vmatrix} + (1+x^2)\cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & x \\ x & 1+x^2 \end{vmatrix} \\\overset{s.o.}{=}  -x \cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & 0 \\ 0 & x \end{vmatrix} + (1+x^2)(1+x^2+x^4) \\=-x^2\cdot (1+x^2)+(1+x^2)(1+x^2+x^4) \\= (1+x^2)\cdot (1+x^4) = 1+x^2+x^4+x^6 = \sum\limits_{i=0}^{3} x^{2i}$$

Induktionshypothese:
$$\text{Für alle } n\in \mathbb{N} \text{ gilt } \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix} = \sum\limits_{i=0}^{n} x^{2i}$$
Induktionsschritte (n->n+1):

Es gilt für die (n+1)x(n+1)-Matrix A:

$$A=\begin{pmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{pmatrix}$$

nach dem Laplace-Entwicklungssatz (nun nxn Matrizen):

$$|A| = (-1)^{n+n+1} \cdot x \cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ... & ... & 0 \\ x & 1+x^2 & x & 0 & ... & \vdots \\ 0 & x & ... & ... & x & 0 \\ \vdots & 0 & ... & ... & 1+x^2 & 0 \\ 0 & ... & ... & ... & x & x \end{vmatrix} + (-1)^{n+1+n+1} \cdot (1+x^2)\cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix} \\ \overset{Def. Det., Vereinf.}{=} -x \cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ... & ... & 0 \\ x & 1+x^2 & x & 0 & ... & \vdots \\ 0 & x & ... & ... & x & 0 \\ \vdots & 0 & ... & ... & 1+x^2 & 0 \\ 0 & ... & ... & ... & 0 & x \end{vmatrix} + (1+x^2)\cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix} \\ \overset{Laplace}{=}-x\cdot (-1)^{n+n}\cdot x\cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ... & 0 \\ x & 1+x^2 & x & 0 & \vdots \\ 0 & x & ... & ... & 0 \\ \vdots & 0 & ... & ... & x \\ 0 & ... & ... & x & 1+x^2 \end{vmatrix} + (1+x^2)\cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix} \\ \overset{2x Ind.hyp., Vereinf.}{=} -x^2 \cdot \sum\limits_{i=0}^{n-1} x^{2i} + (1+x^2) \cdot \sum\limits_{i=0}^{n} x^{2i} \\ \overset{Vereinf.}{=} -\sum\limits_{i=0}^{n-1} x^{2i+2} + \sum\limits_{i=0}^{n} x^{2i} + \sum\limits_{i=0}^{n} x^{2i+2} \\ = x^{2n+2} + \sum\limits_{i=0}^{n} x^{2i} = \sum\limits_{i=0}^{n+1} x^{2i}$$

Avatar von 2,9 k

Daumen hoch für diesen Schreibaufwand!

0 Daumen

War ein Fehler von mir.

Avatar von 11 k

Warum das denn?

Das ist doch keine Diagonalmatrix!

Die Produkte der anderen Diagonalen sind immer Null, da in diesen Diagonalen immer mindestens eine Null auftaucht.

Komisch, \(\begin{vmatrix}1+x^2&x\\x&1+x^2\end{vmatrix}=\left(1+x^2\right)^2-x^2=1+x^2+x^4\)   oder nicht?

Überzeugt, war mein Fehler, ich hatte mehr Nullen gesehen als da waren.

0 Daumen

Hier eignet sich Induktion über die Dimension \(n\in \mathbb{N}_{\geq 1}\).

Induktionsanfang sollte klar sein.

Im Induktionsschritt eignet sich der Entwicklungssatz von Laplace gut. Also vom Anfang so:

\(det(A)=(-1)^{1+1}\cdot (1+x^2)\cdot \underbrace{\begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix}}_{\text{nur noch }n-1\times n-1 }\\\quad +(-1)^{2+1}\cdot x\cdot \underbrace{\begin{vmatrix} x & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix}}_{\text{nur noch }n-1\times n-1 }\\\stackrel{(IV)}{=}(1+x^2)\cdot (1+x^2+...+x^{2(n-1)})\\\quad -x\cdot \underbrace{\begin{vmatrix} x & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix}}_{\text{nur noch }n-1\times n-1 }=...\)

Jetzt machst du nochmal dasselbe auf die noch verbliebene Determinate: Entwicklungssatz von Laplace.

Avatar von 14 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community