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Im Folgenden werden wir die Vektoren \( \vec{v}, \vec{w} \) aus \( \mathbb{R}^{2} \) als Zeilenvektoren verstehen, die entsprechende Darstellung als Spaltenvektor \( \vec{v}^{t} \) erfolgt durch Transponieren.

a) Zeigen Sie, dass die durch \( f\left(\left(a_{1}, a_{2}\right),\left(b_{1}, b_{2}\right)\right):=a_{1} b_{1}+a_{1} b_{2}+a_{2} b_{2} \) definierte Abbildung bilinear ist. Der Beweis wird sehr einfach, wenn es Ihnen gelingt \( f(\vec{v}, \vec{w}) \) in der Form \( \vec{v} \cdot A \cdot \vec{w}^{t} \) zu schreiben, wobei \( A \) eine geeignete Matrix (welche?) ist und \( \cdot \) für die Matrixmultiplikation steht.

b) Begründen Sie, dass \( f \) nicht symmetrisch ist (Gegenbeispiel genügt).

c) Zeigen Sie, dass für beliebige \( A \in M(m \times n, \mathbb{R}) \) und \( B \in M(n \times k, \mathbb{R}) \) die Identität \( (A B)^{t}=B^{t} A^{t} \) gilt. Folgern Sie, dass für jede symmetrische Matrix \( A \in M(2 \times 2, \mathbb{R}) \) (das bedeutet \( A^{t}=A \) ) die Funktion \( g(\vec{v}, \vec{w}):=\vec{v} A \vec{w}^{t} \) symmetrisch ist.

d) Die Funktion \( h\left(\left(a_{1}, a_{2}\right),\left(b_{1}, b_{2}\right)\right)=a_{1} b_{1}+a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}+a_{2} b_{2} \) ist bilinear und symmetrisch. Begründen Sie, dass \( h \) kein Skalarprodukt ist.


Skalarprodukt Beweis zeigen:

h((a1,a2),(b1,b2)):=a1b1+a1b2+a2b1+a2b2 ist bilinear und symmetrisch aber kein Skalarprodukt.

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Du musst hier bei d) eure Definitionen abschreiben und dann auf die Formeln anwenden, um die verlangen Eigenschaften zu zeigen oder zu widerlegen.

Skalarprodukt. Zeige: h((a1,a2),(b1,b2)):= a1b1+a1b2+a2b1+a2b2 ist bilinear und symmetrisch

1. h ist symmetrisch: zu zeigen h((a1,a2),(b1,b2)) = h((b1,b2),(a1,a2))

Man berechnet nach Definition:

h((b1,b2),(a1,a2))= b1a1 + b1a2 + b2a1 + b2a2         |Kommutativität von + und * benutzen

= a1b1+a1b2+a2b1+a2b2  = h((a1,a2),(b1,b2)      qed.

2. h ist bilinear: vermutlich zu zeigen (Def. kontrollieren!) h(k(a1,a2),m(b1,b2)) = km*h((a1,a2),(b1,b2) für k,m Element R.

h(k(a1,a2),m(b1,b2)) = h((ka1,ka2),(mb1,mb2)) 

= ka1mb1 + ka1mb2 + ka2mb1 + ka2mb1              |Kommutativgesetz und Ditributivgesetz in R

= km*(a1b1+a1b2+a2b1+a2b2) = km*h((a1,a2),(b1,b2)  qed.

3. Definition von Skalarprodukt abschreiben und ein Gegenbeispiel suchen für eine Eigenschaft, die noch nicht bewiesen wurde.

1 Antwort

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Mit Matrizen sollte das Ganze noch einfacher gehen als in meinem Kommentar oben.

a) A = ((1,1)(0,1))

(a1,a2) *A = ((a1, a1 + a2)) (b1,b2) = a1b1 + (a1+a2)b2 = a1b1 + a1b2 + a2b2

Vermutlich habt ihr irgendwo einen Satz, der besagt, dass solche Matrixabbildungen bilinear sind.

b)  f((a1,a2),(b1,b2)):= a1b1+a1b2+a2b2

 f((1,2),(3,4)):= 3+4+8= 15

 f((3,4),(1,2)):= 3+6+8 = 17
Da 15≠17 gilt: f ist nicht symmetrisch.

Bei d) wäre dann diese Matrix übrigens ((1,1)(1,1)).
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