DGL 2.Ordnung partikuläre Lösung

Question

Aufgabe: y''-y'-6y=5*\( e^{3*x} \) +6

Problem/Ansatz: Die allgemeine Lösung habe ich bestimmt mit y= c1*\( e^{3x} \) + c2*\( e^{-2x} \)

Bei der Bestimmung der partikulären Lösung yp habe ich das Problem, dass ich 0=5 rausbekomme,

also mache ich irgendwas hier falsch, vielleicht wegen dem c1*\( e^{3x} \)?

yp=5A*\( e^{3x} \)

yp'=15A*\( e^{3x} \)

yp''= 45A*\( e^{3x} \)

muss hier ggfs. noch ein x dazu multipliziert werden? hab das eben in einem video gesehen, hat mich aber irgendwie nich weiter gebracht.

Wäre sehr gut, wenn mir jemand dazu die Lösung hochladen könnte.

Vielen Dank!

Answer 1

Hallo,

Du mußt von jedem Summand den Ansatz für die part. Lösung bestimmen und dann addieren.

y_p1= A

y_p2= x B e^(3x) (Resonanz)

y_p=yp1+yp2

y_p=A +x*B e^(3x)

y_p'= B e^(3x) (3x+1)

y_p'' =3 B e^(3x) (3x+2)

yp , yp' yp'' in die Aufgabe einsetzen, vereinfachen, Koeffizientenvergleich tätigen

5B e^(3x) -6A= 5 e^(3x) +6

--------<Koeffizientenvergleich : e^(3x) , x^0

e^(3x):  5B= 5 ->B=1

x^0    :  -6A= 6 ; A=1

yp=e^(3x) *x -1

y=y_h +y_p

y(x) = C₁ e^(-2 x) + C₂ e^(3 x) + e^(3 x) x - 1

Comments

Vielen Dank!

wegen der Resonanz wird also ein zusätzliches x in den Term reingebracht?

yp=A +x*B e^(3x)

---

so ist es

https://www.micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

(2.Seite, 2.Tabelle)