Deine erste Zeile verstehe ich nicht, du meinst wahrscheinlich \(x,\in \mathbb{R}; \;y\in \mathbb{R}\) und demnach \((\forall x\in\mathbb{R}): (\exists y\in\mathbb{R} : x < y)\), oder?
Die Aussage ist "Für alle reellen Zahlen \(x\) existiert eine reelle Zahl \(y\), sodass \(x\) kleiner \(y\) ist.". Die Aussage ist wahr, denn für jede Zahl \(x\) muss es ein \(y\) geben, welches größer als \(x\) ist. Das liegt an der (überabzählbaren) Unendlichkeit von \(\mathbb{R}\). Egal welches \(x\) wir uns anschauen, es gibt immer noch ein \(y\), welches größer ist. Für den Beweis der Aussage musst du also erstmal beweisen, dass die Mächtigkeit von \(\mathbb{R}\) unendlich ist. Dann weißt du, dass unendlich viele Elemente in der Menge enthalten sind und demnach auch für jede reelle Zahl \(x\) ein größere, reelle Zahl \(y\) gefunden werden kann.
Ein kleines veranschaulichendes Beispiel:
Stelle dir vor, du hast die Zahl \(x=450.000.000.000\) gefunden. Die ist zwar sehr, sehr groß, aber es gibt trotzdem noch die Zahl \(y=450.000.000.001\), die größer ist! So geht es dir aber mit allen Zahlen \(x\), die du findest. Jedes einzelne \(x\) kann von einem \(y\) überboten werden, welches größer ist.
