divergenz und rotation in zylinderkoordinaten berechnen

Question

ich muss die Rotation und die Divergenz des folgenden Geschwindigkeitsfeldes, angegeben in Zylinderkoordinaten, berechnen:

\( \vec{u} = \frac{B}{2\pi r} \vec{e_\phi} + U(A-ln(\frac{r}{R_0})) \vec{e_z} \) ,wobei A, B, U und R₀ Konstanten sind.

Ich erhalte folgendes Ergebnis:

\( rot(\vec{u}) = \frac{U}{r} \vec{e_\phi}  \)

Die Divergenz ist Null.

Kann das jemand für mich nachrechnen?

Vielen Dank und viele Grüße

Answer 1

Aloha :)

Die Divergenz ist korrekt:$$\operatorname{div}\vec u=\frac{1}{r}\partial_r(ru_r)+\frac{1}{r}\partial_\varphi(u_\varphi)+\partial_z(u_z)$$$$\phantom{\operatorname{div}\vec u}=\frac{1}{r}\partial_r(r\cdot0)+\frac{1}{r}\partial_\varphi\left(\frac{B}{2\pi r}\right)+\partial_z\left(U\left(A-\ln\frac{r}{R_0}\right)\right)$$$$\phantom{\operatorname{div}\vec u}=0+0+0=0\quad\checkmark$$

Die Rotation ebenfalls:$$\operatorname{rot}_r\vec u=\frac{1}{r}\partial_\varphi(u_z)-\partial_z(u_\varphi)=\frac{1}{r}\partial_\varphi\left(U\left(A-\ln\frac{r}{R_0}\right)\right)-\partial_z\left(\frac{B}{2\pi r}\right)=0$$$$\operatorname{rot}_\varphi\vec u=\partial_z(u_r)-\partial_r(u_z)=\partial_z(0)-\partial_r\left(U\left(A-\ln\frac{r}{R_0}\right)\right)=U\,\frac{1}{\frac{r}{R_0}}\,\frac{1}{R_0}=\frac{U}{r}$$$$\operatorname{rot}_z\vec u=\frac{1}{r}\partial_r(ru_\varphi)-\frac{1}{r}\partial_\varphi(u_r)=\frac{1}{r}\partial_r\left(r\,\frac{B}{2\pi r}\right)-\frac{1}{r}\partial_\varphi(0)=\frac{1}{r}\partial_r\left(\frac{B}{2\pi}\right)=0$$$$\Rightarrow\quad\operatorname{rot}\vec u=\frac{U}{r}\,\vec e_\varphi\quad\checkmark$$