|a+b+c| <= |a|+|b|+|c| Beweise für drei reelle Zahlen a, b und c ∈ IR

Question

Aufgabe:

|a+b+c| <= |a|+|b|+|c| Beweise für drei reelle Zahlen a, b und c ∈ IR

Problem/Ansatz:

Das einzige, was mir auffällt, dass links, wenn a,b,c gleich sind, dass der Ausdruck stimmt und gleich wäre. Wenn sie dagegen in irgendeiner Weise unterschiedliche Vorzeichen haben, wird der Betrag links kleiner, damit stimmt der Ausdruck ebenfalls.
Aber wie man da jetzt was beweisst... ich bin verzweifelt

Answer 1

Hallo,

betrachte erst \(a+b\) als eine Zahl und wende zwei Mal die Dreiecksungleichung an:$$ |(a+b)+c|\leq |a+b|+|c|\leq |a|+|b|+|c|$$ Also erst Dreiecksungleichung auf \(a+b\) und \(c\) anwenden und dann noch einmal auf \(|a+b|\)

Comments

Vielen Dank, habs gerafft :-)

---

Super!  :-)

Answer 2

Kennst du denn einen Beweis für den Fall von zwei Summanden, also

|a+b| ≤ |a| + |b|

Der Schritt zum Fall von 3 Summanden sollte durch zweimalige Anwendung dieser Aussage zu machen sein !

Answer 3

Es reicht zu zeigen, dass \(\forall x,y\in \mathbb{R}: |x+y| \leq |x| + |y|\), denn dann gilt für \(x=a\) und \(y=b+c\), dass \(|x+y| = |a+(b+c)| \ \leq |x| + |y| = |a| + |b+c| \leq |a| + |b| + |c|\).

Den Beweis dafür findest du z.B. hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung