Berechne mit Hilfe elementarer Regeln

Question

x=$\sqrt[7]{1+\sqrt{2}}$; y=$\sqrt[7]{\sqrt{2}-1}$. Berechne x¹⁷·y²⁴.

Answer 1

x=$\sqrt[7]{1+\sqrt{2}}$

y=$\sqrt[7]{\sqrt{2}-1}$

$$x^{17}*y^{24}$$

$$xy=\sqrt[7]{1+\sqrt{2}} *\sqrt[7]{\sqrt{2}-1}$$

$$xy=\sqrt[7]{(1+\sqrt{2})*( \sqrt{2}-1)} =1$$

$$x^{17}*y^{24}=y^7=\sqrt{2}-1≈0,414$$

Answer 2

Bei mir der Groschen gefallen, als ich $\frac{1}{7}$ rausgezogen habe. Die Aufgabe schreit ja förmlich danach, irgendwie eine dritte binomische Formel zu provozieren: $$(1+\sqrt{2})^{\frac{17}{7}}(\sqrt{2}-1)^{\frac{24}{7}} \\ =((1+\sqrt{2})^{17}(\sqrt{2}-1)^{24})^{\frac{1}{7}}\\ =((1+\sqrt{2})^{17}(1-\sqrt{2})^{24})^{\frac{1}{7}} \\ =((1+\sqrt{2})^{17}(1-\sqrt{2})^{17}(1-\sqrt{2})^7)^{\frac{1}{7}} \\ =((-1)\cdot (1-\sqrt{2})^7)^{1/7} =((\sqrt{2}-1)^7)^{1/7} \\ =\sqrt{2}-1$$

Comments

$(\sqrt{2}-1)^{24}=(-1(1-\sqrt{2}))^{24}=(-1)^{24}(1-\sqrt{2})^{24}=(1-\sqrt{2})^{24}$

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das geht kürzer ;-)$$x=\sqrt[7]{1+\sqrt{2}}, \quad y=\sqrt[7]{\sqrt{2}-1} \\ \begin{aligned} x^{17} \cdot y^{24} &= \left( \sqrt{2}+1 \right)^{\frac{17}{7}} \cdot \left( \sqrt{2}-1 \right)^{\frac{24}{7}} \\ &= \left( \underbrace{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}_{=2-1=1} \right)^{\frac{17}{7}} \cdot \left( \sqrt{2}-1 \right)^{\frac{7}{7}} \\ &= \sqrt 2 - 1 \end{aligned}$$

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Streber!

Meine Antwort war aber auch einfach mal drauf losgerechnet :)

Aber so ist es natürlich viel eleganter.

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Streber!

:-)  :-)