Komposition von funktionen verstehen

Question

Wie berechne ich

g○f

f○g

f○(g○f)

g○(f○g)

Wenn ich das an einem beispiel rechnen muss dann weiß ich nicht vorgehen muss

Comments

Habe noch ein Beispiel zu meiner Antwort hinzugefügt. Ich hoffe das macht es verständlicher.

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Durch das Update von Mathjax auf Katex wurde meine Antwort nicht mehr richtig angezeigt. Das ist jetzt behoben.

Answer 1

$$\begin{aligned}(g \circ f)(x) &= g(f(x))\\ (f \circ g)(x)&= f(g(x))\\(f\circ(g\circ f))(x)&=f(g(f(x)))\\(g\circ(f\circ g))(x)&=g(f(g(x)))\end{aligned}$$

Beispiel: Seien $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $f(x)= x^2$ und $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $g(x)= -x$. Dann ist $$\begin{aligned}(g \circ f)(x) &=g(f(x))&&=g(x^2)&&&&=-x^2\\(f \circ g)(x)&=f(g(x))&&=f(-x)&&&&=x^2\\(f\circ(g\circ f))(x)&=f(g(f(x)))&&=f(g(x^2))&&=f(-x^2)&&=x^4\\(g\circ(f\circ g))(x)&=g(f(g(x)))&&=g(f(-x))&&=g(x^2)&&=-x^2 \end{aligned}$$ für alle $x \in \mathbb{R}$.