Beispiele auf injektivität und surjektivität untersuchen.

Question

Hallo Leute. Ich muss die folgenden 3 Funktionen auf ihre Injektivität sowie Surjektivität untersuchen. Stimmen meine Ergebnisse? Bin mir absolut nicht sicher ob das zweite und dritte stimmen.

Comments

Die dritte Funktion ist nicht definiert. Bei der zweiten gibt es kein x mit f(x)=0.

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Inwiefern ist die dritte Funktion nicht definiert?

wenn es bei der zweiten Funktion kein f(x)=0 ist heißt das dann das sie weder injektiv noch surjektiv ist ?

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Bei der dritten ist f(1) nicht definiert. Möglicherweise handelt es sich um einen Schreibfehler. Die zweite ist injektiv aber nicht surjektiv.

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Die zweite Funktion ist also nicht surjektiv weil f(x)=0 nie abgebildet werden kann. Versteh ich das so richtig?

Und ja du hast recht bei der dritten hat sich ein Schreibfehler eingeschlichen. Die Funktion müsste lauten. f: R\{-1} → R: f(x)=1/(x+1)
Stimmt es dann?

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Meines Erachtens ist beides korrekt.

Answer 1

Aloha :)

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchtstens 1-mal erreicht wird.

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird.

zu a)

Jedes Element der Zielmenge wird genau 1-mal erreicht => injektiv und surjektiv.

zu b)

Jedes Element der Zielmenge wird höchstens 1-mal erreicht => injekiv.

Das Element $0$ der Zielmenge $\mathbb R$ wird nicht erreicht => nicht surjektiv.

zu c)

Jedes Element der Zielmenge wird höchstens 1-mal erreicht => injektiv.

Das Element $0$ der Zielmenge $\mathbb R$ wird nicht erreicht => nicht surjektiv.

Comments

Kann ich bei der zweiten Funktion irgendwie beweisen das sie nicht surrjektiv ist.

bei y=0 also 0=x³/IxI bekomm ich doch ein Ergebnis raus oder? Was bedeutet das der Wert 0 erreicht werden kann.

0*IxI = x³

0 = x³ /Dritte Wurzel

0 = x

?

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Ja kannst du und hast du auch. Wenn die Funktion surjektiv wäre, müsste es ein $x$ aus der Definitionsmenge geben, das auf die $0$ der Zielmenge abbildet:

$$\frac{x^3}{|x|}=0\quad\Rightarrow\quad x=0$$$x=0$ ist also eine notwendige Bedingung dafür, dass das Element $0$ der Zielmenge erreicht werden kann. Aber $x=0$ liegt nicht in der Definitionsmenge! Also wird der Wert $0$ aus der Zielmenge nie erreicht.