Aufgabe:
Man bestimme die Basis des von den folgenden Vektoren aufgespannten Vektorraumes.
(1,-1,1), (1,2,0), (0,1,1), (2,1,2)
Problem/Ansatz:
Könnten Sie mir hierbei helfen?
[1, -1, 1][1, 2, 0][0, 1, 1][2, 1, 2]
II - I ; IV - 2*I
[1, -1, 1][0, 3, -1][0, 1, 1][0, 3, 0]
3*III - II ; IV - II
[1, -1, 1][0, 3, -1][0, 0, 4][0, 0, 1]
Man sieht, dass der ganze R^3 aufgespannt wird. Damit ist
[1, 0, 0] ; [0, 1, 0] ; [0, 0, 1]
eine Basis.
Aloha :)
Schreibe die Vektoren als Spalten nebeneinander und bringe die entstandene Matrix durch elementare Spaltenoperationen auf Dreieckform:$$\left(\begin{array}{rrrr}& -S_1 & & -S_1\\\hline1 & 1 & 0 & 2\\-1 & 2 & 1 & 1\\1 & 0 & 1 & 2\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrr}+S_3& -3S_3 & & -S_2 \\\hline1 & 0 & 0 & 0\\-1 & 3 & 1 & 3\\1 & -1 & 1 & 0\end{array}\right)\to$$$$\left(\begin{array}{rrrr} -2S_4& +4S_4 & -S_4& \\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\2 & -4 & 1 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrr}\vec b_1 & & \vec b_2 & \vec b_3\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Alle vom \(\vec 0\) verschiedenen Spalten bilden eine Basis.
Vielen Dank!
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos