Zeigen Sie, dass es eine in E holomorphe Funktion g gibt mit eg = f in E.

Question

Aufgabe:

Es sei f eine in dem Einheitskreis E holomorphe Funktion mit $f(0)=1$ und $f'(z)= (f(z))^{2}$ für alle $z \in E$. Zeigen Sie, dass es eine in $E$ holomorphe Funktion $g$ gibt mit $e^g = f\in E$.

Also eigentlich dachte ich, ich hätte ich die Aufgabe gelöst, aber mir sind nochmal Zweifel gekommen, ob ich es nicht eher über den holomorphen Logarithmus von f zeigen soll, in dem ich beweise, dass f nullstellenfrei ist.

Meine erste Idee war folgende:

Es sei $f$ wie in der Aufgabe beschrieben. Es gilt $f(0)=1$ und $f'(0)= (f(0))^{2} = 1 \cdot 1=1$.

Induktiv folgt: $f^{(k)} (0)= (f(0))^{2k} = 1^{2k} = 1$.

Betrachte nun $h \coloneqq e^{g}$ und die Ableitungen von $h$:
$$\begin{aligned}h(0) &= e^{g(0)} \\ h' (0) &= g'(0) \cdot e^{g(0)}\\ h''(0) &= g'(0)^2 \cdot e^{g(0)} \\ \dots \\ h^{(k)}(0)&= g'(0)^k \cdot e^{g(0)} \end{aligned}$$
Um das Identitätsprinzip anwenden zu können, muss also $h^{(k)} (0) = 1$ gelten, also $g'(0)^k \cdot e^{g(0)} = 1$. Dies gilt z.B. für die Funktion $g(z)=z$.

Also existiert ein $w=0 \in E$ mit $f^{(k)}(0) = h^{(k)}(0)$ für alle $k \in \mathbb{N}\cup \{0\}$ und nach Idenditätsprinzip gilt $f \equiv h$.

Ist das korrekt so? Oder hab ich schon einen Fehler gemacht, als ich davon ausgegangen bin, dass man die Voraussetzung induktiv fortsetzen kann? Sollte ich lieber über die Nullstellenfreiheit gehen?

:)

Comments

Kann mir keiner sagen, ob meine Idee richtig ist oder ob ich ganz daneben liege? :(

Answer 1

Hallo,

wahrscheinlich soll die Aufgabe auf einen bestimmten Satz hinauslaufen. Aber man kann sie auch einfach beantworten:

$$f'=f^2 \Rightarrow \frac{1}{dz} \frac{f'(z)}{f(z)^2} =-\frac{1}{dz}f(z)^{-1}=1 \Rightarrow f(z)=\frac{1}{1-z}$$

(unter Benutzung von $f(0)=1$. Damit ist dann $g(z)=\ln(1-z)$ unproblematisch.

Du hast Dich übrigens bei der Bestimmung der Ableitungen vertan:

$$f'(z)=f(z)^2 \Rightarrow f''(z)=2f(z)f'(z)=2 f(z)^3$$

und so weiter. Auch auf diesem Weg gelangt man über die Taylorreihe zur angegebenen Lösung.

Gruß MatheÜeter