Parallele Ebene mit Abstand (7 LE) zur Ebene E bestimmen (ohne HNF)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Gleichung der zu E: 16x1 -4x2 +13x3=32 parallelen Ebenen F und G, deren Punkte von der Ebene E den Abstand 7 LE haben.

Problem/Ansatz:

Ich weiß schon die Lösungen (F: 16x1 -4x2 +13x3= 179 und G: 16x1- 4x2 + 13x3= -115), aber nicht wie man darauf kommt. Habe schon gegoogelt aber da kam nur was mit einer Hesseschen Normalform, was wir gar nicht im Unterricht hatten. Ich denke man kann da auch relativ einfach drauf kommen, aber ich steh einfach auf dem Schlauch.

Answer 1

Suche dir einen beliebigen Punkt der gegebenen Ebene aus. Stelle die Gleichung der Geraden auf, die durch diesen Punkt geht und senkrecht zu dieser Ebene steht. Suche auf deiner Geraden die beiden Punkte aus, die von deinen ausgesuchten Ebenenpunkt den Abstand 7 haben. Verwende dann deren Koordinaten, um den passenden Wert für d zu bekommen.

Übrigens: "Wie lang" ist denn dein verwendeter Normalenvektor?

Comments

Hab jetzt die Gerade g: x= (2/0/0) + t • (16/-4/3) aufgestellt. Aber wie mach ich jetzt weiter?

Der Normalenvektor ist 21 LE lang, also 3 mal so lang wie die gewünschte Länge von 7 LE. Weiß aber leider auch nicht, wie mir das weiterhelfen soll.

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Na, da hst du es doch. Bewege dich nicht um den ganzen Normalenvektor von der Ebene weg, sondern nur um 1/3 dieses Vektors.

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Sorry, dass ich mich so blöd anstelle aber mir fehlt irgendwie der Zusammenhang. Wie komme ich mit 1/3 des Normalenvekotors letztendlich von den gegebenen 32 auf die 179 oder die -115.

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Ein Punkt deiner Ebene ist (2|0|0). Wenn du dazu den Vektor \( \begin{pmatrix} 16/3\\-4/3\\13/3 \end{pmatrix} \) addierst, erhältst du den Punkt (\(\frac{22}{3} |\frac{-4}{3} |\frac{13}{3})\).

Setze diesen Punkt in 16x₁ -4x₂ +13x₃=d ein, und du erhältst dein d=179.

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Perfekt danke :)

Answer 2

Das geht viel einfacher

16·x - 4·y + 13·z = 32 ± 7·√(16^2 + 4^2 + 13^2)

F: 16·x - 4·y + 13·z = -115

G: 16·x - 4·y + 13·z = 179