|x + y| = |x| + |y| ⇐⇒ xy ≥ 0.
Erst mal " <=="
xy ≥ 0 ==> .( x≥ 0 und y ≥ 0 ) oder .( x≤0 und y ≤ 0 )
1. Fall: x≥ 0 und y ≥ 0
==> |x|=x und |y|=y und (da kein Summand negativ ist, ist es auch die Summe nicht.)
|x+y| = x+y
==> |x + y| = |x| + |y| weil x+y =x+y .
2. Fall: x≤0 und y ≤ 0
==> |x|=-x und |y|=-y und (da kein Summand positiv ist, ist es auch die Summe nicht.)
|x+y| = -x-y
==> |x + y| = |x| + |y| weil (-x)+(-y) =-x-y .
andere Richtung: ==>
Sei |x + y| = |x| + |y| . Wegen der Dreiecksungl. gilt jedenfalls |x + y| ≤ |x| + |y|.
Daraus ist jetzt xy ≥ 0 herzuleiten.
Angenommen, das sei nicht der Fall, dann wäre
( x<0 und y>0 ) oder ( x>0 und y<0) .
1. Fall: x<0 und y>0 ==> |x|=-x und |y|=y
==> |x|+|y| = y-x
und |x+y| hängt nun noch davon ab, ob x+y pos. oder negativ ist.
1. Unterfall x+y > 0
==> |x+y| = x+y und wegen |x + y| = |x| + |y|
wäre x+y = y-x ==> x = -x im Widerspruch zu x<0.
2. Unterfall x+y < 0
==> |x+y| = -(x+y) = -x-y und wegen |x + y| = |x| + |y|
wäre -x-y = y-x ==> y = -y im Widerspruch zu y>0.
Der 2. Fall geht (mit zwei Unterfällen) entsprechend.
