Vektor in zwei Komponenten zerlegen von denen die eine Senkrecht zu (a) und die andere parallel zu (b) ist.

Question

Zerlegen Sie den Vektor $$\vec{v}=(1,2,3)$$ in zwei Komponenten von denen die eine Senkrecht zu $$\vec{a}=(2,1,2)$$

und die andere parallel zu $$\vec{b}=(1,1,2)$$ ist.

Ich versteh nicht ganz wie der Vektor zerlegt werden soll. Ich hätte jetzt einfach nach dem Skalarprodukt einen anderen Vektor (r)  bestimmt, der multipliziert mit $$\vec{a}, 0  ergibt $$. Z.b. r=( 0,-2,1).

$$r*\vec{a}=0$$. Die parallele Komponente muss ein Vielfaches von Vektor (b) sein.

Ich bräuchte hier wirklich mal eine Rechnung zur Übersicht.

Answer 1

Jeder Vektor senkrecht zu \(\vec{a}\) lässt sich als\( \begin{pmatrix} c\\d\\-c-0,5d\end{pmatrix} \) darstellen,

Jeder Vektor parallel zu \(\vec{b}\) lässt sich als  k· \(\vec{b}\)  darstellen.

Es muss also

\( \begin{pmatrix} 1\\2\\3\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} c\\d\\-c-0,5d\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} k\\k\\2k\end{pmatrix} \)  gelten.

Das ergibt drei Gleichungen mit drei Unbekannten und wird in Fachkreises LGS genannt.

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Muss man dieser stelle dann noch die unbekannten ausrechen? Ich hab das mal mithilfe vom Gaußverfahren ausgerechnet ,aber bin mir nicht sicher ob es stimmt.

k=10/7     d=4/7   c=-3/7

Wäre echt froh wenn das nochmal überprüft wird.

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Das passt alles- jetzt nur noch die beiden gesuchten Vektoren mit c. d und k konkret angeben.