vollständige Induktion Beweise

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion für n ∈ N:

7^n + n ≤ 8^n

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz:

Induktionsanfang: n ≥ 1

7^1+1 ≤  8^1

Voraussetzung: die Aussage gilt für alle n ≥ 1

7^n+1 + n + 1 ≤ 8^n+1

und weiter komme ich leider nicht :/

Answer 1

Aloha :)

Mach den Induktionsschritt am besten von der rechten Seite her:

$$8^{n+1}=8\cdot8^n\ge8\cdot(7^n+n)=(7+1)\cdot7^n+8n=7^{n+1}+7^n+8n$$$$\phantom{8^{n+1}}=7^{n+1}+(n+1)+7^n+8n-(n+1)=7^{n+1}+(n+1)+\underbrace{(7^n+7n-1)}_{\ge0}$$$$\phantom{8^{n+1}}\ge7^{n+1}+(n+1)\quad\checkmark$$

Answer 2

Hallo, du kannst die Abschätzung im Induktionsschritt so machen.

Induktionsvoraussetzung (=IV)

\(7^n+n\leq 8^n\quad \Leftrightarrow \quad 7^n\leq 8^n-n\) für ein beliebiges, aber festes \(n\in \mathbb{N}_{\geq 1}\)

Induktionsschritt
\(7^{n+1}+(n+1)\\=7\cdot 7^n +n+1\\\stackrel{IV}{\leq} 7\cdot (8^n-n) +n+1\\=7\cdot 8^n-6n+1\\\leq 7\cdot 8^n+8^n\\=8\cdot 8^n\\=8^{n+1}\)