Aloha :)
Ich hoffe, dass ich die Funktionen richtig interpretiere:$$f(x_1,x_2)=\frac{x_1}{x_2}\quad;\quad \vec x=\vec g(t)=\binom{3\ln(t)}{1-t}\quad;\quad c(t)=f(\,\vec g(t)\,)$$Wir sollen die Ableitung \(c'(2)\) bestimmen. Dazu könnte man die Funktion \(c(t)\) explizit hinschreiben und nach \(t\) ableiten. Da in der Überschrift die Kettenregel erwähnt ist, vermute ich jedoch, dass die Ableitung mittels Kettenregel erfolgen soll:$$\frac{dc(t)}{dt}=\frac{\partial f}{\partial \vec g}\cdot\frac{d\vec g}{dt}=\operatorname{grad}f(g_1,g_2)\cdot\frac{d\vec g}{dt}=\begin{pmatrix}\frac{1}{x_2}\\[1ex]-\frac{x_1}{x_2^2}\end{pmatrix}_{(x_1,x_2)=(g_1,g_2)}\cdot\begin{pmatrix}\frac{3}{t}\\[1ex]-1\end{pmatrix}$$$$\phantom{\frac{dc(t)}{dt}}=\begin{pmatrix}\frac{1}{1-t}\\[1ex]-\frac{3\ln(t)}{(1-t)^2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\frac{3}{t}\\[1ex]-1\end{pmatrix}=\frac{3}{t(1-t)}+\frac{3\ln(t)}{(1-t)^2}$$Speziell an der Stelle \(t=2\) finden wir:$$c'(2)=\frac{3}{-2}+\frac{3\ln2}{1}=\ln(8)-\frac{3}{2}\approx0,579442$$
