Ableitung mit Produkt und Kettenregel? f(x) = x / (1+x2)2, g(t)= et(2t-3)5

Question

Zwei Funktionen ableiten und dann vereinfachen:

a. \( f(x)=\frac{x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \)

b. \( g(t)=e^{t}(2 t-3)^{5} \)

Ich probiere es mit der Produkt- und Kettenregel, aber ich komme nie auf das gewünschte Ergebnis.

Answer 1

Hi,

benutze die Quotientenregel:

 

v = (1+x²)²

v' = 2*(1+x²)*2

u = x

u' = 1

 

Einsetzen in f'(x) = (u'*v - u*v')/v²

 

Das ist nicht weiter schwierig und spare ich mir jetzt. Multipliziere aber nicht gleich aus! Du wirst (1+x²) einmal ausklammern können und kannst kürzen. Dann ergibt sich vereinfacht:

f'(x) = (1-3x²)/(x²+1)³

---------------------------------

Für g(t) = e^t(2t-3)⁵

Produkt- und Kettenregel

g'(t) = e^t*(2t-3)⁵ + e^t*5*(2t-3)⁴ * 2 = (2t-3)⁴*e^t ((2t-3) + 10) = (2t-3)⁴*e^t (2t+7)

Answer 2

f(x) = x / (1+x²)² |Produkt draus machen

= x * (1+x²)^-2

f ' (x) = 1 * (1+x²)^-2 + x * (-2)*(x² +1)^-3 * (2x) |Hauptnenner (x² + 1)³

f ' (x) = (1+x²) / (1+x²)³ - 4x² / (x² + 1)³

= (1 - 3 x²) / (x² + 1)³

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+x+%2F+%281%2Bx%5E…

g(t)= e^t (2t-3)⁵
g' (t) = e^t (2t - 3)⁵ + e^t * 5 * (2t-3)⁴ * 2

= e^t (2t-3)⁴ (2t -3 + 10) = (2t + 7)(2t-3)⁴*e^t

Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=g%28t%29%3D+e%5Et+%282t-3%29%5…