ich finde die Aufgabe merkwürdig. Sind wirklich diese Vektoren angegeben oder sollst du es allgemein zeigen? Denn diese Vektoren sind auf gar keinen Fall ansatzweise von der Form, sodass das Kreuzprodukt assoziativ ist.
Wenn du es allgemein zeigen sollst, kannst du die sogenannte "Graßmann Identität" verwenden. Diese lautet:
\( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \cdot b - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot c \)
\( (\vec{a} \times \vec{b} ) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \cdot b - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \cdot a \)
Das heißt also, wenn das Kreuzprodukt assoziativ sein soll, dann muss
\( (a \cdot b) \cdot c = (b \cdot c) \cdot a\)
gelten.
In deinem Spezialfall mit \( \vec{a} = (2,2,2)^T, \vec{b} = (0,-3,-3)^T\) und \( \vec{c}=(-0.5,0,0.5)^T \) haben wir
\( (-6,0,6)^T = (-3,-3,-3)^T \)
da stehen, was offensichtlich nicht gilt.
Betrachten wir es jedoch allgemein, kann man durchaus eine Aussage treffen. Sei dabei \( \alpha := \vec{a} \cdot \vec{b}\) und \( \beta := \vec{b} \cdot \vec{c} \).
Dann gilt nach der Graßmann Identität, dass das Kreuzprodukt genau dann assoziativ ist, wenn
\( \alpha \cdot \vec{c} = \beta \cdot \vec{a} \) mit \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \)
gilt.
Solltest du die Bedingung aber tatsächlich für deine gegebenen Vektoren angeben, dann kannst du sagen, dass man keine Bedingung aufstellen kann.
Noch eine Bemerkung zu
"Ich dachte ursprünglich, dass das Kreuzprodukt immer nicht-assoziativ ist."
Im allgemeinen gilt das tatsächlich nicht, wie du an deinem Beispiel sehen kannst. Aber wie du gesehen hast, kann es durchaus auch assoziativ sein, wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sind. Das einfachste Beispiel, was man sich vorstellen und schnell mal ausrechnen kann, sind die drei Einheitsvektoren.
Lg
