Welche Bedingungen müssen drei Vektoren erfüllen, damit das Kreuzprodukt assoziativ ist?

Question

ich stehe vor der Aufgabe alle Bedingungen zu finden die drei Vektoren erfüllen müssen, damit ihr Kreuzprodukt assoziativ ist.

Also für welche a, b und c gilt

a x (b x c) = (a x b ) x c

Ich habe das beides mal für den allgemeinen Fall durchgerechnet und bin der Meinung, dass alle drei Vektoren in mindestens zwei Koordinaten eine Null haben müssen, sprich sie ein Vielfaches der Einheitsvektoren sein müssen.

z.B. a=(1/0/0), b=(0/1/0), c=(0/0/1)

Offensichtlich ist das Kreuzprodukt auch assoziativ, wenn zwei der Vektoren Nullvektoren sind.

Allerdings komme ich auch durch die allgemeine Betrachtung nicht auf andere Bedingungen. Auch im Internet finde ich eigentlich überall nur die Aussage, dass das Kreuzprodukt per se nicht assoziativ ist, das wars.

Kann mir jemand noch Tipps geben ob/wie ich noch an andere Bedingungen kommen könnte?

Answer 1

Wenn alle drei paarweise aufeinander senkrecht stehen, geht es auch.

z.B.

1
1
1

und

1
-1
0

und

1
1
-2

Answer 2

Ich bin mir selbst nicht sicher aber das ist mein bisheriger Lösungsansatz.

Mit dieser Umformung: a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b) ≠  b(a · c) − a(c · b) = (a × b) × c

muss c(a · b) =  b(a · c) gelten damit das Assoziativgesetz gilt. Daraus folgt, dass μ·c = λ·b sein muss (also b in dieselbe/entegegengesetze Richtung wie c zeigen muss). Mit μ= (a · b) und λ=(a · c)