Aufgabe:
Bestimmen Sie die Niveaulinie von (inklusive der Form der Niveaulinie):
\( f(x, y)=e^{x^{2}+y^{2}}+3\left(x^{2}+y^{2}\right) \)
Text erkannt:
\( f(x, y)=e^{x^{2}+y^{2}}+3\left(x^{2}+y^{2}\right) \)
Problem/Ansatz:
Verstehe leider die dazu gegebene Erklärung nicht, weil diese nur sehr oberflächlich ist.
Musterlösung:{
Die Niveaulinien von \( f \) sind definiert als
\( f(x, y)=c \)
für \( c \in \mathbb{R} . \) Beachten Sie, dass \( f(x, y) \geq 1 \) für alle \( x, y, \) also \( c \geq 1 . \) Wir erhalten:
\( f(x, y)=c \Leftrightarrow e^{x^{2}+y^{2}}+3\left(x^{2}+y^{2}\right)=c \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=\tilde{c} \)
wobei \( \tilde{c} \geq 0 \) mit \( e^{\bar{c}}+3 \tilde{c}=c . \) Die Gleichung \( e^{\bar{c}}+3 \tilde{c}=c \) besitzt eine eindeutige Lösung \( \tilde{c} \geq 0 \) für alle \( c \geq 1 \) In der Tat, die Funktion \( g(\tilde{c})=e^{\bar{c}}+3 \tilde{c} \) ist streng monoton steigend \( \left(g^{\prime}(\tilde{c})=e^{\bar{c}}+3>0\right) \) und stetig mit \( g(0)=1 \) sowie \( \lim \limits_{\tilde{c} \rightarrow \infty} g(\tilde{c})=\infty . \) Dies ergibt letztlich, dass die Niveaulinien von \( f \) Kreise mit Zentrum (0,0) und Radien \( \sqrt{\tilde{c}} \) für \( \tilde{c} \geq 0 \) sind.
}
Text erkannt:
Die Niveaulinien von \( f \) sind definiert als
$$ f(x, y)=c $$
für \( c \in \mathbb{R} . \) Beachten Sie, dass \( f(x, y) \geq 1 \) für alle \( x, y, \) also \( c \geq 1 . \) Wir erhalten:
$$ f(x, y)=c \Leftrightarrow e^{x^{2}+y^{2}}+3\left(x^{2}+y^{2}\right)=c \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=\tilde{c} $$
wobei \( \bar{c} \geq 0 \) mit \( e^{\bar{c}}+3 \bar{c}=c . \) Die Gleichung \( e^{\bar{c}}+3 \bar{c}=c \) besitzt eine eindeutige Lösung \( \bar{c} \geq 0 \) für alle \( c \geq 1 \) In der Tat, die Funktion \( g(\bar{c})=e^{\bar{c}}+3 \tilde{c} \) ist streng monoton steigend \( \left(g^{\prime}(\bar{c})=e^{t}+3>0\right) \) und stetig mit \( g(0)=1 \) sowie \( \lim \limits_{\bar{c} \rightarrow \infty} g(\tilde{c})=\infty . \) Dies ergibt letztlich, dass die Niveaulinien von \( f \) Kreise mit Zentrum (0,0) und Radien \( \sqrt{\tilde{c}} \) für \( \tilde{c} \geq 0 \) sind.
In der gegebenen Lösung sieht es so aus, als ob man einfach von x^2 + y^2 =~c die Niveaulinie skizziert, aber dabei sieht unsere ursprüngliche Funktion f komplett anders aus. Kann mir das vielleicht jemand erklären? Wäre sehr dankbar dafür :)
