Meine erste Bemerkung war zu voreilig,
Es gilt aber \( \lim\limits_{k\to\infty}(\frac{k+1}{k})^k=e \).
Dein Term hat die Form \( \frac{1}{k+1}(\frac{k+1}{k})^k\) und geht damit tatsächlich gegen 0·e=0.
Was die Monotonie betrifft: Bilde doch mal den Quotienten \((\frac{k+1}{k})^k : (\frac{k+2}{k+1})^{k+1}\). Sollte dieser nachweislich größer als 1 sein...
bzw. \( (\frac{k+2}{k+1})^{k+1}:(\frac{k+1}{k})^k\) sollte kleiner als 1 sein.
