Zur Integration einer Funktion betrachten Sie die Newton-Cotes Formel

Question

Aufgabe:

Zur Integration einer Funktion \( f \) über \( [a, b] \subset \mathbb{R} \) betrachten Sie die Newton-Cotes Formel

$$ I(f)=(b-a) \sum \limits_{i=0}^{n} \alpha_{i n} f\left(t_{i}\right) $$
\( \mathrm{zu} \) den Stützstellen \( t_{0}, \ldots, t_{n} . \) Zeigen Sie \( \sum \limits_{i=0}^{n} \alpha_{i n}=1 \)

Answer 1

Wähle \( f(t) = 1 \) dann folgt, weil die Newton-Cotes Formeln Polynome vom Grad \( \le n \) exakt integrieren, $$ \int_a^b f(x) dx = b-a = I(f) = (b-a) \sum_{i=0}^n a_{in} $$ Also $$ \sum_{i=0}^n a_{in} = 1 $$

Siehe auch Seite 192 von

https://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/a2/07/vorl12_ana.pdf