Wie beweist man unendliche Unterräume mit bestimmt Dimension

Question

Aufgabe:Wie beweist man unendliche Unterräume mit bestimmt Dimension

V ist ein n-dimensionaler Vektorraum über dem Körper K, K besitzt unendlich viele Elemente.

zu zeigen ist

a) ist n≥2, enthält V unendliche viele verschiedene Unterräume der Dimension n-1

b)Ist V=V₁ ∪ V₂ ∪...∪V_r endliche Vereinigung von Unterräume V1,...,Vr, so gibt es notwendig ein j∈(1,...,r) mit V_j=V

Problem/Ansatz:

bei Aufgabe b habe ich Idee mit Induktion zu beweisen, im Induktionsschritt einen (n 1)-dimensionalen Unterraum W von V mit W ≠ V_i, i ∈ {1, . . . , r}. Weiter habe ich nicht.

erste habe ich keine Ahnung.

Könnte jemanden mir helfen, er wäre auch gut sogar besser, Idee oder Tipps zu geben

Mit freundlichen Grüßen

Malik

Answer 1

a)  Wenn V n-dimensional ist, dann gibt es eine Basis B = {v1,v2,...,vn}.

und es gilt also: Für jedes v∈V gibt es genau ein n-Tupel (a1,a2,...,an)∈Kⁿ

mit v=a1*v1+a2*v2+...+an*vn.

Wäre K endlich, dann gäbe es genau (#K)ⁿ solcher n-Tupel und damit

auch genau so viele Elemente in V.  Da aber V unendlich ist, ist K dies auch.

Und für n≥2 entstehen durch das Weglassen je eines Elementes der Basis B

n verschiedene (n-1)-elementige linear unabhängige Familien von Vektoren,

die je einen (n-1)-dimensionalen Unterraum von V erzeugen. Und wegen

#K=∞ haben diese alle unendlich viele Elemente.

Comments

vielen Danke,

Du hast ziemlich gut erklärt.

Hast du zufällig Ahnung, wie ich b mit Induktion durchführen soll?

Mit freundlichen Grüßen

Malik

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Hallo,

kurz stören, haben Sie Idee für Aufgabe b

MfG

Malik

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Dazu fällt mir nur ein, dass die Vereinigung zweier

Unterräume normalerweise kein Unterraum ist.

Wenn es also doch einer ist, muss der selber als ein

Element der Vereinigung vorkommen,

Das geht sicher irgendwie über die Basen.

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Danke für Ihre Tipp,

ich versuche es mal mit Basen zu lösen

Mit freundlichen Grüßen

Malik

Answer 2

Hallo,

nach meinem Verständnis hat mathef die Aufgabe nicht gelöst. Er hat gezeigt, dass es n verschiedene Unterräume der Dimension n-1 gibt. Aber gefragt ist doch, ob es unendlich viele Unterräume der Dimension n-1 gibt.

Ich würde das so angehen: Es sei wieder $\{v_1, \ldots v_n\}$ eine Basis von V. Dann sei für $s \in K$ der Unterraum

$$U_s:=\text{SPAN}(v_1, \ldots, v_{n-2},v_{n-1}+sv_n)$$

Diese Unterräume sind alle verschieden; denn für $s \neq t$ ist $v_{n-1}+tv_n$ nicht in $U_s$ enthalten. Sonnst gäbe es Koeffizienten $q_i \in K$ mit

$$v_{n-1}+tv_n= \sum_{k=1}^{n-2}q_kv_k+q_{n-1}(v_{n+1}+sv_n)$$

Wegen der Basis-Eigenschaft folgt zunächst $q_1 = \ldots=q_{n-2}=0$, dann $q_{n-1}=1$, schließlich $s=t$

Gruß

Comments

Danke Peter

Haben Sie Idee, wie ich Aufgabe b mit Induktion über dim_k(K) durch führen soll.

Ich weiss, dass zum Beispiel die Vereinigung von V1 und V2 nicht ein Vektorraum ist, außer wenn selbst wieder ein Vektorraum.

Aber die Aufgabe sagt, dass ich mit Induktion beweisen soll. Bei Induktionsschritt ist einen (n 1)-dimensionalen Unterraum W von V mit W ≠ Vi, i ∈ {1, . . . , r}.

MfG

Malik

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noch kurz fragen, woher kommt diese t eigentlich