Übergangswahrscheinlichkeiten, Fluktuationsmatrix berechnen.

Question

Aufgabe:

Übergangswahrscheinlichkeiten berechnen.

Problem/Ansatz:

Wie kann ich solch eine Matrix auflösen, sodass ich ein Ergebnis für A,B und C bekomme?

!

Text erkannt:

Auflösung der Fluktuationsmatrix in vier Schritten:
3. Erstellen der Gleichungen zur Ermittlung der langfristigen Marktanteile (= Gleichgewichtszustand):
Der aktuelle Marktanteil ergibt sich aus den Marktanteilen der Vorperiode:
$$ A_{t}=0,52 A_{t-1}+0,25 B_{t-1}\left(+0,28 C_{t-1}\right) $$
Im Gleichgewichtszustand gilt für alle Marken:
Marktanteil in Periode \( \mathrm{t}= \) Marktanteil in Periode \( \mathrm{t}-1 \)
$$ \begin{array}{l} A=0,52 A+0,25 B+0,28 C \\ B=0,36 A+0,66 B+0,38 C \\ C=0,12 A+0,09 B+0,34 C \end{array} $$
Außerdem gilt: \( A+B+C=1(100 \%) \)
4. Auflösen der Gleichungen nach einer Marke und schrittweises Auflösen:

Answer 1

Das Problem kann durch die Gleichung $$  x = Ax $$ beschrieben werden, mit \( x = \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix} \). Wenn man nichttriviale Lösungen haben will, sind das Eigenvektoren der Matrix \( A \) zum Eigenwert \( \lambda = 1 \)

Der Eigenvektor zum Eigenwert \( \lambda = 1 \) lautet $$ v = \begin{pmatrix} 0.545 \\ 0.812 \\ 0.210 \end{pmatrix} $$