Konvergenz und Grenzwert: ax = x!/x^x

Question

Aufgabe: Beweisen sie die Konvergenz und bestimmen sie den Grenzwert

$$ax=\frac{x!}{x^x}$$

Problem/Ansatz:

Ich bin mir unsicher mit der Fakultät wie berechne ich das?

Comments

Was soll den \( ax \) bedeuten?

Answer 1

Aloha :)

Für die Folge $$a_n=\frac{n!}{n^n}$$können wir folgende Abschätzung treffen:

$$0<a_n=\frac{n!}{n^n}=\underbrace{\frac{n}{n}}_{=1}\cdot\underbrace{\frac{n-1}{n}}_{\le1}\cdot\underbrace{\frac{n-2}{n}}_{\le1}\cdots\underbrace{\frac{2}{n}}_{\le1}\cdot\frac{1}{n}\le\frac{1}{n}\quad\implies\quad 0<a_n\le\frac{1}{n}$$Damit konvergiert die Folge \((a_n)\) und ihr Grenzwert ist \(0\).