Zeige Differenzierbarkeit von stetig ergänztem f(x)= e^ (-(1/x^2)) in x=0.

Question

Ich habe die Funktion f(x)= e^ (-(1/x^2)) gegeben.

Zunächst sollte ich f(0) definieren, so dass f auf ganz R stetig fortgesetzt wird. Das habe ich gemacht mit f(0)=0.

Jetzt soll ich noch zeigen, dass f in diesem Punkt dann auch differenzierbar ist mit f'(0)=0. Hier komme ich aber nicht weiter. Ich muss ja eigentlich nur den rechts-und den linksseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten für x gegen 0 betrachten. Aber wie funktioniert das?

Linksseitiger Grenzwert:

lim _{x -> 0-0} (f(x)-f(0))/(x-0)= e^ (-(1/x^2)) / x = ??

Rechtsseitiger Grenzwert:

lim _{x -> 0+0} (f(x)-f(0))/(x-0)= e^ (-(1/x^2)) / x = ??

Wie mache ich hier weiter?

 

 

Gruß

 

Matze

Comments

Spricht etwas dagegen, dass du erst mal mit der Kettenregel ableitest und dann schaust, wie denn die Steigung bei x=0 rauskommt?
Da die Funktion symmetrisch zur y-Achse ist, muss die Steigung in (0,0) den Wert 0 haben.

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Aber wie soll ich das denn machen? Ich habe doch dann:

f'(x)=exp(-1/x^2)*2x^{-3}

Und da kann ich doch nicht einfach 0 einsetzen, weil sonst wäre ja eine 0^3 bzw. 0^2 im Nenner und nix geht mehr...

Oder sehe ich das falsch?

Answer 1

möglicherweise hilft hier die Regel von de l'Hospital weiter.$$\small\lim_{x\to0}f'(x)=\lim_{x\to\infty}f'\left(\frac1x\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3}{e^{x^2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{6x^2}{2xe^{x^2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x}{e^{x^2}}=\lim_{x\to\infty}\frac3{2xe^{x^2}}$$$$=0.$$

Comments

Ja in Richtung L'Hospital hatte ich auch schon gedacht. Aber den Trick mit limes x gegen 0 auf x gegen unendlich umstellen hatte ich nicht. Für mich scheint das richtig, was da steht.