Zeige, dass Mengen offen sind

Question

Aufgabe:
Sei \( \Omega \subseteq \mathbb{R}^{n} \) offen und zusammenhängend. Zeigen Sie, dass \( \Omega \) wegzusammenhängend ist. Hinweis: Zeigen Sie für \( x_{0} \in \Omega \), dass die Mengen
\( U:=\left\{x \in \Omega: x\right. \) lisst sich mit \( x_{0} \) durch einen stetigen Weg verbinden \( \} \)
und \( V:=\Omega \backslash U \) offen sind.

Wisst ihr, wie man das löst?

Answer 1

Beweisidee:

\(U\) ist offen, da offene Bälle wegzusammenhängend sind und man stetige Wege aneinanderlegen kann. Für zwei Punkte \(x_1,x_2\in \Omega\) ist entweder \(U(x_1)=U(x_2)\) oder aber \(U(x_1)\cap U(x_2)\neq \emptyset\). Wenn \(\Omega\) nicht wegzusammenhängend wäre, so wäre \(\Omega \neq U\) und es gäbe eine Zerlegung in nichtleere offene Teilmengen im Widerspruch zum Zusammenhang.

Melde dich noch einmal, wenn etwas unklar ist.

Comments

Hallo, vielen Dank dir! Habe verstanden

---

Ausgezeichnet.