Zueinander normale Geraden und Ebenen

Question

 

Aufg. Gegeben ist die Ebene 2x-y+2z-9=0. Bestimme a) den Abstand des Ursprungs von der Ebene inklusive Fusspunkt, b) den Abstand des Punktes P(6/0/12) von der Ebene inklusive Fusspunkt. 

Ich habe keine Ahnung wie ich dies rechnen muss, ich würde mal sagen irgendwie mit der Hessischen Normalform?

Vielen Dank für jede Hilfe

Answer 1

Du musst lediglich mit dem Normalenvektor der Ebene arbeiten.

Den kannst du einfach ablesen aus der Ebenengleichung, es sind die Koeffizienten vor x,y und z.

Also: n = (2;-1;2)^T

Um den Abstand der Punkte von der Ebene zu ermitteln kannst du nun einfach die folgende Formel verwenden:

Sei die Ebene gegeben durch n_x*x + n_y*y +n_z*z  = a und P (x _P ;y_P;z_P) der Punkt, d ann gilt für den Abstand d:

d = Ι[(n_x * x_P + n_y * y_P + n_z * z_P) - a] / √(n_x²+n_y²+n_z²)Ι

a) d = 3

b) d = 9

Da du aber auch den Fusspunkt errechnen sollst, kannst du eine Geradengleichung aufstellen, auf der dein Punkt liegt und die senkrecht auf der Ebene steht.

a) x₁ = (0;0;0)^T + s * (2;-1;2)^T

b) x₂ = (6;0;12)^T + t * (2;-1;2)^T

Nun musst du diese Geraden mit der Ebene zum Schnitt bringen:

a) 2*(0+2s) - 1*(0-1s) +2(0+2s) - 9 = 0

    4s + 1s + 4s = 9

                       s = 1

Also ist der Fusspunkt der Punkt auf der Gerade mit s = 1

 f₁ = (0;0;0)^T + 1 * (2;-1;2)^T = (2;-1;2)^T

Fusspunkt liegt also bei (2;-1;2)^T

b) 2*(6+2s) - 1*(0-1s) +2(12+2s) - 9 = 0

   12 +4s + 1s + +24 + 4s = 9

                      9s = -27

                        s = -3

Also ist der Fusspunkt der Punkt auf der Gerade mit t = -3

 f₂ = (6;0;12)^T + (-3) * (2;-1;2)^T = (0;3;6)^T

Fusspunkt liegt also bei (0;3;6)^T

Wenn du diese beiden Fusspunkte hast, kannst du nun den Abstand von der Ebene zu den Punkten einfach ermitteln, in dem du den Abstand von ihnen zu ihrem zugehörigen Fusspunkt ermittelst.

a)  d=√(0-2)²+(0+1)²+(0-2)²) = 3

b)  d=√(6-0)²+(0-3)²+(12-6)²) = 9

Die Ergebnisse sind natürlich dieselben wie oben.