Wie berechne ich hier die Länge? (Vektor mit Re und Im anteil)

Question

$$\vec{x}=\begin{pmatrix} 2+3i\\-6-10i\\-3-2i \end{pmatrix}$$

Es soll ein Vektor im R^3 mit Komplexen Anteil sein.

Wie berechne ich hier die Länge?

Geht das so, dass ich für das i einfach eine 1 einsetze, oder muss ich den Komplexen teil einfach weg lassen?

Answer 1

Aloha :)

Das Skalarprodukt ist in \(\mathbb C\) etwas anders definiert als in \(\mathbb R\). In \(\mathbb C\) muss man einen der Vektoren komplex konjugieren. Daher ist:

$$|\vec x|^2=\vec x\cdot \vec x^\ast=\begin{pmatrix}2+3i\\-6-10i\\-3-2i\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2-3i\\-6+10i\\-3+2i\end{pmatrix}$$$$\phantom{|\vec x|^2}=(2+3i)(2-3i)+(-6-10i)(-6+10i)+(-3-2i)(-3+2i)$$$$\phantom{|\vec x|^2}=2^2-(3i)^2+(-6)^2-(10i)^2+(-3)^2-(2i)^2$$$$\phantom{|\vec x|^2}=4+9+36+100+9+4=162$$

Die Länge des Vektors ist die Wurzel daraus:$$|\vec x|=\sqrt{162}$$

Comments

Achso, du macht es mit dem Skalarprodukt. Ok danke dir. Dann mache ich es so.