Es ist ratsam, die Berechnung anhand einer Skizze nachzuverfolgen.
Im Folgenden ersetze ich Streckenangaben wie etwa AB durch geeignete Buchstaben, diese sollten gleich in die Skizze mit übernommen werden.
Da das Dreieck ABC rechtwinklig ist, kann man die Länge der Hypotenuse dieses Dreiecks (das ist die Strecke h = AC) mit Hilfe der Sinusfunktion aus der bekannten Strecke a = AB = 11,6 cm und dem bekannten Winkel ACD = 71,2 ° berechnen:
h = a / sin ( 71,2 ° ) = 11,6 / sin ( 71,2 °)
<=> h = 12,254 cm
Damit kennt man nun in diesem rechtwinkligen Dreieck sowohl die Länge der Hypotenuse h, als auch der Kathete a, sodass sich die Länge der zweiten Kathete b = BC sofort mit Hilfe des Pythagoras berechnen lässt:
h ² = a ² + b ²
<=> b ² = h ² - a ² = 12,254 ² - 11,6 ²
<=> b = 3,95 cm
Diese Länge ist zwar für die weiteren Berechnungen nicht von Bedeutung, kann aber später bei der zeichnerischen Überprüfung der gefundenen Lösung verwendet werden.
Wichtiger ist die Länge der Strecke f = CE. Diese ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ACE und da die Längen der Katheten e = AE = 56,4 cm bzw. h = 12,254 cm bereits gegeben bzw. berechnet wurden, kann man auch hier den Pythagoras anwenden:
f ² = e ² + h ² = 5,4 ² + 12,254 ²
<=> f = 13,39 cm
Nun gibt es sicher einige Möglichkeiten, weiterzurechnen. Ich habe mir folgende Feststellung bzw. Überlegung zu Nutzen gemacht:
Das Viereck ACDE hat zwei gegenüberliegende rechte Winkel, deren Schenkel in den Punkten E und C zusammentreffen. Daher muss die Strecke f = CE der Durchmesser eines Kreises sein, der durch alle vier Punkte verläuft (Thaleskreis!). Damit aber ist das Viereck ACDE ein Sehnenviereck und in einem solchen gilt, dass die Summe der Produkte der Längen je zweier gegenüberliegender Seiten gleich dem Produkt aus den Längen seiner Diagonalen ist (siehe: Satz des Ptolemäus).
Bezeichnet man also die Strecken CD mit c , DE mit d und DA mit g, dann besagt dieser Satz:
c * e + d * h = f * g
Setzt man hier die bereits bekannten Wert ein erhält man:
c * 5,4 + d * 12,254 = 13,39 * g (Gleichung 1)
also eine Gleichung mit noch 3 Unbekannten. Es werden also noch zwei weitere Gleichungen mit diesen Unbekannten benötigt, um eine Lösung erhalten zu können.
Eine zweite Gleichung ist einfach zu finden: Da das Dreieck CDE rechtwinklig ist (Hypotenuse f, Katheten c und d) gilt:
f ² = c ² + d ² (Gleichung 2)
Die dritte Gleichung ergibt sich mit Hilfe des Kosinussatzes. Es gilt:
g ² = c ² + h ² - 2 * c * h * cos ( 54,2 °)
Einsetzen des bekannten Wertes h = 12,254 ergibt:
g ² = c ² + 12,254 ² - 2 * c * 12,254 * cos ( 54,2 °) (Gleichung 3)
Nun muss ich gestehen, dass ich zu faul war, dieses Gleichungssystem zu Fuß auszurechnen. Ich habe daher WolframAlpha gebeten, das für mich zu erledigen ... :-)
WolframAlpha hat mehrere Lösungen gefunden, darunter jedoch nur eine, bei der alle Variablen positive Werte haben. Diese Lösung ist:
c = 11,55 cm
d = 6,78 cm
g = 10,86 cm
Damit ist die erste Aufgabe erledigt: Die Strecke CD = c hat die Länge 11,55 cm.
(Interessanterweise habe ich den gegebenen Winkel AED = 125,8 ° für meine Lösung gar nicht benötigt.)
Die zweite Aufgabe ist hingegen vergleichsweise einfach:
Das Fünfeck ABCDE setzt sich aus drei rechtwinkligen Dreiecken zusammen, deren Katheten jeweils bekannt sind. Für den Flächeninhalt A eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b aber ist:
A = a * b / 2
Für den Flächeninhalt AFünfeck gilt daher ( F (XYZ) bezeichne den Flächeninhalt des Dreiecks XYZ):
AFünfeck = F ( ABC ) + F ( ACE ) + F ( CDE )
= a * b / 2 + e * h / 2 + c * d / 2
[bekannte Werte einsetzen und ausrechnen:]
= 95,15 cm ²
Das Dreieck ABC mit dem Flächeninhalt a * b / 2 = 22,91 cm ² hat daran den prozentualen Anteil:
p = 22,91 / 95,15 = 0,2408 = 24,08 %
