Projektionen, Matrizen, Vektorräume

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum und L: V → V linear.

(a) Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(i)     L ist eine Projektion.
(ii)    id_V −L ist eine Projektion.
(iii)    Bild L = Kern(id_V −L)

(b) Zeigen Sie, dass fur eine Projektion ¨ L: V → V gilt:
V = Eig(L; 1) ⊕ Eig(L; 0).
Zeigen Sie hierzu zunächst, dass
Eig(L; 1) = Bild L und Eig(L; 0) = Kern L .

(c) Sei L eine nilpotente Projektion. Zeigen Sie, dass L die Nullabbildung ist.

Problem/Ansatz:

Ich stehe aufn Schlauch und bitte um Hilfe

Answer 1

a)  (i) ==> (ii):  Sei L eine Projektion.
     (    #:  Es ist also L(L(v))=L(v) für alle v∈V     )

Sei v∈V. ==> (id_V-L)o(id_V-L)(v) = (id_V-L)( v-L(v))

                                                 = id_V( v-L(v)) - L( v-L(v))

                                                =  v-L(v)    - L( v-L(v))

wegen der Linearität von L:     =  v-L(v)    - (  L(v)-L(L(v))  )

                                              =  v-L(v)    -  L(v)  +  L(L(v))

    wegen #                            =  v-L(v)    - L(v)  +  L(v)

                                                =  v-L(v)

                                                =    (id_V-L)(v)

Also gilt (idV-L)o(idV-L)(v) =  (idV-L)(v) für alle v∈V, somit

ist  idV-L eine Projektion.

(ii) ==> (i)   Sei idV-L eine Projektion und  v∈V,

==>   (idV-L)o(idV-L)(v) =  (idV-L)(v)

wie bei (i)==> (ii) folgt

             v-L(v)    - L(v)  +  L(L(v)) =  v - L(v)

          ==>                  - L(v)  +  L(L(v)) = 0

          ==>               L(L(v)) = L(v) . Also L eine Proj.

(i)==> (iii)  Sei L eine Projektion und  x∈ Kern( id_V-L).

           ==>  id_v(x) - L(x) = 0 <=>  x - L(x)=0 <=> x=L(x)

d.h. Es gibt ein y [nämlich y=x]  mit L(y)=x. ==> x ∈ Bild(L).

Also   Kern( idV-L)  ⊆  Bild(L)

Sei umgekehrt x ∈ Bild(L). ==>  Es gibt ein y∈V mit L(y)=x

                          ==>    L(L(y)) = L(x)

wegen Proj.    ==>   L(y) = L(x)

einsetzen            x = L(x)

==>                        x - L(x)  = 0

==>               x∈ Kern( id_V-L).

     Also auch   Bild(L)  ⊆  Kern( idV-L) .

(iii)==> (i) bekommst du so ähnlich hin.