Aloha ;)
Um Indizes zu sparen, schreibe ich \(x\) statt \(x_1\) und \(y\) statt \(x_2\).
$$F(x;y)=3x^2+12xy+6y^2=\text{const}\quad;\quad\vec a=(4;5)\quad;\quad x,y\ge0$$
a) Bestimmung von \(dx\) in Abhängigkeit von \(dy\)
$$0=dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=(6x+12y)dx+(12x+12y)dy\implies$$
$$(6x+12y)dx=-12(x+y)dy\implies dx=-\frac{6(2x+2y)}{6(x+2y)}dy=-\frac{2x+2y}{x+2y}dy\implies$$$$dx=-\frac{2\cdot4+2\cdot5}{4+2\cdot5}dy=-\frac{18}{14}dy=-\frac{9}{7}dy\implies \boxed{dx=-\frac{9}{7}dy\approx-1,29\,dy}$$
b) Exakte Veränderung von \(x\), wenn sich \(y\) um \(0,35\) erhöht:$$\left.3(x+\Delta x)^2+12(x+\Delta x)(y+0,35)+6(y+0,35)^2\stackrel!=3x^2+12xy+6y^2\quad\right|\vec a=(4;5)$$$$\left.3(4+\Delta x)^2+12(4+\Delta x)(5+0,35)+6(5+0,35)^2=3\cdot4^2+12\cdot4\cdot5+6\cdot5^2\quad\right.$$$$\left.3(4+\Delta x)^2+12(4+\Delta x)\cdot5,35+6\cdot5,35^2=438\quad\right.$$$$\left.3(16+8\Delta x+(\Delta x)^2)+(48+12\Delta x)\cdot5,35+171,735=438\quad\right.$$$$\left.48+24\Delta x+3(\Delta x)^2+256,8+64,2\Delta x+171,735=438\quad\right.$$$$\left.3(\Delta x)^2+88,2\Delta x+476,535=438\quad\right|-438$$$$\left.3(\Delta x)^2+88,2\Delta x+38,535=0\quad\right|:3$$$$\left.(\Delta x)^2+29,4\Delta x+12,845=0\quad\right|\text{pq-Formel}$$$$\Delta x=-14,7\pm\sqrt{14,7^2-12,845}=-14,7\pm14,256402$$$$\boxed{\Delta x\approx-0,443598}$$
c) Approximative Änderung von \(x\), wenn sich \(y\) um \(0,35\) erhöht.
Hier reicht es, in die Formel aus a) einzusetzen:$$\boxed{dx=-\frac{9}{7}\cdot0,35\approx-0,45}$$
Oha, dein Ergebnis bei c) ist falsch. Du hast \(0,35\) mit \((-\frac{7}{9})\) anstatt mit \((-\frac{9}{7})\) multipliziert. Ein kleiner Bug mit großer Wirkung.
