Aloha :)
Gegeben ist uns eine Normalverteilung mit \(\mu=119\) und \(\sigma=4\).
Wir führen im Folgenden alle Berechnungen auf die Standard-Normalverteilung \(\phi(z)\) zurück.$$P(\mathrm{IQ}<x)=\phi(z)=\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\phi\left(\frac{x-119}{4}\right)\quad;\quad z\coloneqq\frac{x-\mu}{\sigma}$$Die Werte für \(\phi\) habe ich mit Excel ermittelt, du kannst sie aber auch in Tabellen nachschauen oder mit einem guten Taschenrechner bestimmen.
a) Der Anteil der getesteten Personen, die einen IQ von weniger als 120.56 Punkten haben, beträgt 65,2%$$P(\mathrm{IQ}<120,56)=\phi\left(0,39\right)=0,651732\approx65,2\%\quad\checkmark$$
b) 60% der getesteten Personen haben einen IQ von weniger als 112,81 Punkten.$$P(\mathrm{IQ}<112,81)=\phi\left(-1,5475\right)=0,060871\approx6,09\%\ne60\%\quad\text{FALSCH}$$
c) Das Bildungsinstitut interessiert sich für den Anteil der Personen, die IQ Punkte zwischen 113.64 und 124.36 erreicht haben. Der Anteil der Personen, deren IQ Punkte in diesem Intervall enthalten sind, beträgt 86%.$$P(113,64\le\mathrm{IQ}<124,36)=P(\mathrm{IQ}<124,36)-P(\mathrm{IQ}<113,64)=\phi(1,34)-\phi(-1,34)$$$$\qquad=0,909877-0,090123=0,819754\approx82,0\%\ne86\%\quad\text{FALSCH}$$
d) Das Bildungsinstitut möchte nun wissen, welches Intervall mit einer Wahrscheinlichkeit von 94% die erreichten IQ Punkte der getesteten Personen enthält. Dieses Intervall lautet [104.48; 133.52]
Wir bestimmen das Intervall der Standard-Normalverteilung \(\phi(z)\), in dem \(94\%\) aller Werte liegen:$$0,94\stackrel!=\phi(-z\le Z<z)=\phi(z)-\phi(-z)=\phi(z)-(\,1-\phi(z)\,)=2\phi(z)-1$$Dabei wurde die Symmetrie \(\phi(z)+\phi(-z)=1\) der Gauß'schen Glockenkurve verwendet.$$\implies1,94=2\phi(z)\implies\phi(z)=0,97\implies z=\phi^{-1}(0,97)=1,880794$$Das \(94\%\)-Intervall liegt also 1,88 Standardabweichungen um den Erwartungswert herum:$$\mathrm{IQ}_{\text{min}}=\mu-1,880794\,\sigma=111,48\quad;\quad\mathrm{IQ}_{\text{max}}=\mu+1,880794\,\sigma=126,52$$Das 94%-Intervall ist also \([111,48\,;\,126,52]\).
e) Das Bildungsinstitut möchte nun die Gewichtung der Aufgaben so ändern, dass die erreichten IQ Punkte der getesteten Personen im Intervall [113.64; 124.36] enthalten sind (siehe c.). Die Wahrscheinlichkeit dafür soll auf 94% gesteigert werden (siehe d.). Somit müsste die Standardabweichung gesenkt werden auf 2.85 Punkte.
Für das 94%-Intervall haben wir \(\mathrm{IQ}_{\text{min}}\) und \(\mathrm{IQ}_{\text{max}}\) in Teil d) bestimmt. Daraus können wir nun die benötigte Standardabweichung bestimmen:$$\mathrm{IQ}_{\text{max}}=\mu+1,880794\,\sigma\stackrel!=124,36\implies\sigma=\frac{124,36-\mu}{1,880794}=2,849860\approx2,85\quad\checkmark$$
