Äquivalenzumformungen bei endlich dimensionalen K Vektroräumen

Question

Hallo, verstehe folgende Aufgabe nicht, weiß hier jemand weiter:

Sei \( K \) ein Körper und \( V \) ein endlich-dimensionaler \( K \) -Vektorraum. Wir betrachten auf End \( (V) \) die Relation
\( f \sim g \Longleftrightarrow \operatorname{kern}(f)=\operatorname{kern}(g) \)
Dies ist eine Äquivalenzrelation (das brauchen Sie nicht zu zeigen).
(a) Zeigen Sie, dass
\( \begin{aligned} F: \operatorname{End}(V) / \sim & \longrightarrow \mathbb{N} \\ X & \longmapsto \operatorname{rg}(f) \text { für ein } f \in X \end{aligned} \)
eine wohldefinierte Abbildung ist. Punkte)

(b) Ist die in (a) definierte Abbildung bijektiv?

Comments

a) Hier musst du zeigen: Sind \( f,g \in X \in \text{End}(V)/\sim \), dann ist \( \text{Rang}(f) = \text{Rang}(g) \). Da \( f, g \) Elemente einer Äquivalenzklasse sind ist nach Def. von \( \sim \) schon \( \ker f = \ker g \). Rest Rangsatz.

b) Betrachte mal \( V = \mathbb R^3 \) und suche eine lineare Abbildung \( \varphi ~:~ \mathbb R^3 \to \mathbb R^3 \) mit Rang 42.