Funktionsgleichung zur Nullstelle Xn=2 und Sattelpunkt bei S (0/-8) (Steckbriefaufgabe)

Question

Aufgabe:

Funktionsgleichung zur Nullstelle Xn=2 und Sattelpunkt bei S (0/-8)

Problem/Ansatz:

Gesucht wird die Funktionsgleichung zur Nullstelle Xn=2 und Sattelpunkt bei S (0/-8).

Eigenschaften:

f(2) = 0

f´(0) = 0

f´´(0) = 0

f(0) = -8

f(x) = a*x³+b*x²+c*x+d

f´(x) = 3*a*x²+2*b*x+c

f´´(x)= 6*a*x+2b

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f(2) = a*0³+b*0²+c*0+d = 2

f´(0) = 3*a*0+2*b*0+c = 0

f´´(0) = 6*a*0+2*b = 0

f(0) = a*-8³+b*-8²+c*-8+d

Liege ich mit meiner bisherigen Vorgehensweise richtig? Wenn ja, wie mache ich nun weiter, bzw. wie errechne ich die Werte a,b,c,d?

Antworten bitte mit Vollständigem Rechenweg als Erklärung, vielen Dank!

Answer 1

Hallo
f(2) = 0
f´(0) = 0
f´´(0) = 0
f(0) = -8

f(x) = a*x³+b*x²+c*x+d
f´(x) = 3*a*x²+2*b*x+c
f´´(x)= 6*a*x+2b

Das ist alles OK.

$$f(2) = a*8+b*4+c*2+d=0$$$$f´(0) = c=0$$$$f´´(0)= 2b=0$$$$f(0) = d=-8$$

damit

$$f(2) = a*8-8=0 ; a=1$$$$f(x)=x^3-8$$

Answer 2

f(2) = 0

f´(0) = 0

f´´(0) = 0

f(0) = -8

Das ist richtig.

f(x) = a*x³+b*x²+c*x+d

f(2) = a*0³+b*0²+c*0+d

Der Unterschied zwischen f(x) und f(2) ist, dass das x durch 2 ersetzt wurde.

Wenn du auf der linken Seite das x durch 2 ersetzt, dann solltest du auch auf der rechten Seite das x durch 2 ersetzen, und nicht etwa durch 0.

wie mache ich nun weiter

Löse das Gleichungssystem

a*2³+b*2²+c*2+d = 2

3*a*0²+2*b*0+c = 0

6*a*0+2*b = 0

a*0³+b*0²+c*0+d = -8

Answer 3

"Funktionsgleichung zur Nullstelle Xn=2 und Sattelpunkt bei S (0|-8)"

Ich verschiebe den Graph um 8 Einheiten nach oben, weil dann beim Sattelpunkt eine Dreifachnullstelle liegt:

Funktionsgleichung P (2|8) und Sattelpunkt bei S (0|0)

p(x)=a*x³

P (2|8)

p(2)=a*2³=8a

8a=8

a=1

p(x)=x³   Wieder 8 Einheiten nach unten:

f(x)=x³-8